Nos problemas 24 a 28 , determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:
A(3,-1,2) e l x=t y=2-t z=3+2 t

Passo 1

O enunciado dá o ponto A(3,-1,2) e a reta
x=t, y=2-t, z=3+2t
e pede a equação geral do plano que contém ambos. Na Geometria Analítica em R^3, um plano pode ser escrito como
vec ncdot(x,y,z) + D = 0,
onde vec n é perpendicular a todo vetor do plano. Vamos encontrar vec n a partir de dois vetores contidos no plano.

Passo 2

Identificar o vetor diretor da reta. As equações paramétricas mostram que, ao aumentar t em 1, o ponto varia em
(1,,-1,,2)
Logo, o vetor diretor é
vec d = (1,-1,2)

Passo 3

Escolher um ponto qualquer da reta e calcular o vetor que liga esse ponto a A. Para t=0 temos
P0=(0,2,3)
Então
AP0 = P0 - A = (0-3,;2-(-1),;3-2) = (-3,3,1)

Passo 4

Calcular o produto vetorial vec d times AP0 para obter o vetor normal ao plano:
vec n = i & j & k 1 & -1 & 2 -3 & 3 & 1 = (-7,,-7,,0)
Podemos simplificar dividindo por -7, obtendo
vec n = (1,1,0)

Passo 5

Montar a forma geral do plano usando vec n=(1,1,0):
1cdot x + 1cdot y + 0cdot z + D = 0 Longrightarrow x + y + D = 0

Passo 6

Determinar D usando o ponto A=(3,-1,2). Substituindo:
3 + (-1) + D = 0 Longrightarrow D = -2
Assim a equação do plano é
x + y - 2 = 0

Resposta

x + y - 2 = 0

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