Determine uma transformação linear com auto-espaços (autovalor 0 e (autovalor 2). Apresente a matriz que representa esta transformação linear com respeito à base canônica de .
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear que tenha autovalor com autoespaço
e autovalor com autoespaço
Para construir basta escolher vetores geradores de cada autoespaço, pôr esses vetores como autovetores, montar a matriz diagonal em relação a essa base e, em seguida, voltar à base canônica.
Passo 2
Como geradores temos
Eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de . Nos interessa que
Passo 3
Na base canônica, escrevemos a matriz desconhecida
As condições de autovalor geram sistemas lineares. Primeiro, para
Depois, para :
Passo 4
Resolvendo o sistema
Passo 5
Substituindo em obtemos
Uma checagem rápida confirma que A(2,1)=(0,0) e A(1,1)=(2,2), como queríamos.