Determine uma transformação linear T: R^2 R^2 com auto-espaços E0=(2 t, t) mid t in R (autovalor 0 ) e E2=(t, t) mid t in R (autovalor 2). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica de R^2.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon R^2toR^2 que tenha autovalor 0 com autoespaço
E0=(2t,t)mid tinR
e autovalor 2 com autoespaço
E2=(t,t)mid tinR
Para construir T basta escolher vetores geradores de cada autoespaço, pôr esses vetores como autovetores, montar a matriz diagonal em relação a essa base e, em seguida, voltar à base canônica.

Passo 2

Como geradores temos
v1=(2,1)in E0, v2=(1,1)in E2
Eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^2. Nos interessa que
T(v1)=0e T(v2)=2,v2

Passo 3

Na base canônica, escrevemos a matriz desconhecida
As condições de autovalor geram sistemas lineares. Primeiro, para
Depois, para :

Passo 4

Resolvendo o sistema
2a + b = 0, a + b = 2 ;Rightarrow; a=-2,;b=4, 2c + d = 0, c + d = 2 ;Rightarrow; c=-2,;d=4

Passo 5

Substituindo em A obtemos
A = -2 & 4 -2 & 4
Uma checagem rápida confirma que A(2,1)=(0,0) e A(1,1)=(2,2), como queríamos.

Resposta

A = -2 & 4 -2 & 4

Exercícios relacionados