Considere a transformação linear T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(2 x-y-z, x-z,-x+y+2 z)
Esta transformação linear é bijetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (2x - y - z,; x - z,; -x + y + 2z)
Para decidir se T é bijetora, basta verificar se ela é invertível. Num espaço vetorial de dimensão finita igual nos domínio e contradomínio, isso equivale a calcular o determinante da matriz que representa T na base canônica e ver se ele é não nulo.

Passo 2

Vamos encontrar a matriz A de T na base canônica. Como
T(1,0,0) = (2,1,-1), T(0,1,0) = (-1,0,1), T(0,0,1) = (-1,-1,2),
a matriz é
A = 2 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2

Passo 3

Agora calculamos o determinante de A:
det(A) = 2l(0cdot 2 - (-1)cdot 1r) -(-1)l(1cdot 2 - (-1)cdot (-1)r) +(-1)l(1cdot 1 - 0cdot (-1)r)
Isso dá
det(A) = 2(0+1) -(-1)(2-1) +(-1)(1-0) = 2 + 1 - 1 = 2
Como det(A)=2neq 0, a matriz é invertível.

Resposta

Sim. A transformação T é bijetora porque sua matriz na base canônica tem determinante igual a 2neq 0, logo é invertível.

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