Demonstre os itens abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial, temos a equivalência
Para isso vamos usar as propriedades de grupo abeliano do conjunto de vetores: existência de elemento neutro
, existência de inverso aditivo e associatividade da soma.
Passo 2
(Prova de “
”) Suponha
.
Então
Então
onde no segundo passo substituímos
por
e, no último, usamos a propriedade do inverso aditivo de
.
Passo 3
(Prova de “
”) Suponha
.
Isto é,
Isto é,
Some
em ambos os lados:
Pela associatividade,
Como
e
, segue
Resposta
Portanto, mostramos ambas as implicações e concluímos