Demonstre os itens abaixo:
u=v Leftrightarrow u-v=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial, temos a equivalência
u = v ;Long<=ftrightarrow; u - v = 0
Para isso vamos usar as propriedades de grupo abeliano do conjunto de vetores: existência de elemento neutro 0, existência de inverso aditivo e associatividade da soma.

Passo 2

(Prova de “ Rightarrow”) Suponha u = v.
Então
u - v = u + l(-vr) = v + l(-vr) = 0,
onde no segundo passo substituímos u por v e, no último, usamos a propriedade do inverso aditivo de v.

Passo 3

(Prova de “ Leftarrow”) Suponha u - v = 0.
Isto é,
u + l(-vr) = 0
Some v em ambos os lados:
l[u + l(-vr)r] + v = 0 + v
Pela associatividade,
u + l[(-v) + vr] = v
Como (-v) + v = 0 e u + 0 = u, segue
u = v

Resposta

Portanto, mostramos ambas as implicações e concluímos
u = v ;Long<=ftrightarrow; u - v = 0

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