Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3 x+2 y-4 z-12=0 e pelos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano
3x+2y-4z-12=0
Para resolver, vamos encontrar os quatro vértices desse tetraedro (interseções de três planos) e usar a fórmula do volume de um tetraedro com um vértice na origem:
V = 16l|det(vec a,vec b,vec c)r|

Passo 2

Encontramos as interseções dos planos três a três:
  • x=0, y=0, z=0 to (0,0,0).
  • y=0, z=0, 3x+2y-4z-12=0 3x-12=0, logo (4,0,0).
  • x=0, z=0, 3x+2y-4z-12=0 2y-12=0, logo (0,6,0).
  • x=0, y=0, 3x+2y-4z-12=0 -4z-12=0, logo (0,0,-3).

Passo 3

Tomamos como vértices vec a=(4,0,0), vec b=(0,6,0), vec c=(0,0,-3) e aplicamos
V = 16l|det(vec a,vec b,vec c)r|

Passo 4

Calculamos o determinante:
det(vec a,vec b,vec c) = 4 & 0 & 0 0 & 6 & 0 0 & 0 & -3 = 4cdot6cdot(-3) = -72
Logo
V = 16l|-72r| = 12

Resposta

O volume do tetraedro é 12 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados