Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y+2 z,-x+3 z,-2 x+3 y+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{33} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z)=(-x+y+2z,\,-x+3z,\,-2x+3y+2z)
e pede que a gente determine a matriz B que representa a inversa de T. Especificamente, precisamos achar o valor da entrada b_{33} da matriz B.
Informações relevantes dadas no enunciado:
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}-x+y+2z\\\ -x+3z\\\ -2x+3y+2z\end{pmatrix}.
O que nos pediram: o valor de b_{33}, ou seja, o elemento da terceira linha e terceira coluna da matriz B=A^{-1}, onde A é a matriz que representa T na base canônica.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. A regra é: os coeficientes das componentes de T(x,y,z) formam as colunas de A quando usamos a ordem (x,y,z). Assim,
a primeira coluna é T(1,0,0), a segunda é T(0,1,0) e a terceira é T(0,0,1). Computando rapidamente:
T(1,0,0)=(-1,-1,-2),\quad T(0,1,0)=(1,0,3),\quad T(0,0,1)=(2,3,2).
Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 2\\[4pt]-1 & 0 & 3\\[4pt]-2 & 3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora, conceito importante: a matriz inversa A^{-1} existe se \det(A)\neq0 e vale
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (a transposta da matriz dos cofatores). O cofator C_{ij} é definido por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante da matriz 2\times2 obtida de A eliminando a linha i e a coluna j. A entrada genérica b_{ij} de A^{-1} é então
b_{ij}=\frac{\operatorname{adj}(A)_{ij}}{\det(A)}=\frac{C_{ji}}{\det(A)}.
No caso específico de b_{33} (terceira linha, terceira coluna de A^{-1}), como \operatorname{adj}(A)_{33}=C_{33} (índices iguais), temos
b_{33}=\frac{C_{33}}{\det(A)}=\frac{(-1)^{3+3}M_{33}}{\det(A)}=\frac{M_{33}}{\det(A)}.
Logo basta calcular M_{33} (o determinante da submatriz obtida removendo linha 3 e coluna 3 de A) e \det(A).

Passo 4

Calculemos M_{33}. Eliminando a linha 3 e a coluna 3 de A obtemos a submatriz
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
O determinante dessa 2\times2 é
M_{33}=(-1)\cdot 0 - 1\cdot(-1)=0+1=1.]

Passo 5

Agora calculamos \det(A). Usamos a expansão pela primeira linha (ou qualquer método; aqui faço pela primeira linha):
\det(A)=(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix} + 2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada determinante 2\times2 passo a passo:
\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}=0\cdot 2 - 3\cdot 3= -9,
\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - 3\cdot(-2)= -2 +6=4,
\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix}=(-1)\cdot 3 - 0\cdot(-2)= -3.
Substituindo em \det(A):
\det(A)=(-1)\cdot(-9) - 1\cdot 4 + 2\cdot(-3)=9-4-6= -1.
Portanto \det(A)=-1, que é diferente de zero, então A é invertível (boa notícia!).]

Passo 6

Voltando a b_{33}, usamos o resultado do Passo 4 e do Passo 5:
b_{33}=\frac{M_{33}}{\det(A)}=\frac{1}{-1}=-1.
Portanto o valor da entrada b_{33} é -1.

Resposta

(C) -1

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