Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(2,1)=(-1,-1,1) e T(3,1)=(1,3,-1).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece duas imagens:
T(2,1)=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad T(3,1)=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}.
Pede-se determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e, em particular, encontrar a entrada a_{21} (segunda linha, primeira coluna) de A.

Passo 2

Vamos lembrar (e usar) uma propriedade básica de transformações lineares: a imagem de um vetor (x,y) pode ser escrita como combinação linear das imagens dos vetores da base canônica. Se definirmos
a_1:=T(1,0)\in\mathbb{R}^3,\qquad a_2:=T(0,1)\in\mathbb{R}^3,
então, para todo (x,y),
T(x,y)=x\,a_1 + y\,a_2.
A matriz A que buscamos tem colunas exatamente a_1 e a_2:
A=\begin{pmatrix} | & | \\\ a_1 & a_2 \\\ | & | \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos as imagens dadas para obter equações em a_1 e a_2. Como T(2,1)=2a_1+1a_2 e T(3,1)=3a_1+1a_2, temos o sistema de vetores:
2a_1 + a_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad 3a_1 + a_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda, eliminamos a_2 e isolamos a_1:
(3a_1+a_2) - (2a_1+a_2) = a_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculemos a diferença coordenada a coordenada:
\begin{pmatrix}1-(-1)\\[4pt]3-(-1)\\[4pt]-1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix}.
Portanto
a_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora voltamos à primeira equação para encontrar a_2:
2a_1 + a_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Substituindo a_1:
2\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix} + a_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculamos 2a_1:
2a_1 = \begin{pmatrix}4\\\ 8\\\ -4\end{pmatrix}.
Logo
a_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\\ 8\\\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\\ -9\\\ 5\end{pmatrix}.

Passo 6

Agora escrevemos a matriz A com colunas a_1 e a_2:
A=\begin{pmatrix} 2 & -5\\[4pt] 4 & -9\\[4pt] -2 & 5 \end{pmatrix}.
A entrada a_{21} é a segunda linha, primeira coluna da matriz A, ou seja o segundo componente de a_1.]

Passo 7

Lemos a_{21} em A:
a_{21}=4.

Resposta

(E) 4

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