Considere a transformação matricial A: R^4 R^3, com A=[cccc1 & 2 & 3 & 1 1 & 3 & 5 & -2 3 & 8 & 13 & -3]. Encontre uma base e a dimensão:
Do núcleo

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear A:R^4toR^3 com matriz
A= 1 & 2 & 3 & 1 1 & 3 & 5 & -2 3 & 8 & 13 & -3
e pede uma base e a dimensão do núcleo de A. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo A x=0.

Passo 2

Escrevendo as equações de A x=0 em coordenadas (x1,x2,x3,x4):
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0, x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 = 0, 3x1 + 8x2 + 13x3 - 3x4 = 0

Passo 3

Eliminamos para encontrar as equações independentes:
(eq2) - (eq1):;x2 + 2x3 - 3x4=0,
(eq3) - 3cdot(eq1):;2x2 +4x3 -6x4=0,
mas a segunda é 2 vezes a primeira, então sobra apenas
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0, x2 + 2x3 - 3x4 = 0

Passo 4

Tomamos x3=s e x4=t como parâmetros livres. Da segunda equação:
x2 = -2s + 3t
Da primeira:
x1 = -2x2 -3x3 - x4 = -2(-2s+3t) -3s - t = s - 7t

Passo 5

Escrevendo o vetor solução:
(x1,x2,x3,x4) = s,(1,-2,1,0);+;t,(-7,3,0,1)
Logo uma base do núcleo é
(1,-2,1,0),;(-7,3,0,1)
e, como há dois parâmetros livres, a dimensão do núcleo é 2.

Resposta

Uma base do núcleo de A é (1,-2,1,0),,(-7,3,0,1) e a dimensão do núcleo é 2.

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