Mostre se as funções abaixo são ou não são lineares:
Passo 1
O enunciado define a aplicação
por
Observamos que a imagem tem três componentes, portanto o contradomínio correto é
. Nosso objetivo é verificar se
é linear, isto é, se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembrando a definição,
é linear se, para quaisquer
e
, valem
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
Então
e
Reagrupando termos, isso dá
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
. Então
e
Resposta
A transformação
é linear.