Mostre se as funções abaixo são ou não são lineares:
T: R^3 R^2
T(x, y, z)=(x+y+z, x-z, 2 y-z)

Passo 1

O enunciado define a aplicação T:R^3toR^2 por
T(x,y,z)=(x+y+z,;x-z,;2y-z)
Observamos que a imagem tem três componentes, portanto o contradomínio correto é R^3. Nosso objetivo é verificar se T é linear, isto é, se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando a definição, T é linear se, para quaisquer u,vinR^3 e lambdainR, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(lambda u)=lambda,T(u)

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e
T(u+v)=l((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2),;(x1+x2)-(z1+z2),;2(y1+y2)-(z1+z2)r)
Reagrupando termos, isso dá
T(u+v) =l((x1+y1+z1)+(x2+y2+z2),;(x1-z1)+(x2-z2),;(2y1-z1)+(2y2-z2)r) =T(u)+T(v)

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja lambdainR. Então
lambda u=(lambda x,;lambda y,;lambda z),
e
T(lambda u) =l(lambda x+lambda y+lambda z,;lambda x-lambda z,;2lambda y-lambda zr) =lambda,(x+y+z,;x-z,;2y-z) =lambda,T(u)

Resposta

A transformação T é linear.

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