Seja F: R^2 R^3 uma transformação linear tal que F(-1,2)=(1,-1,1) e F(1,1)=(0,1,-1). Encontre F(x, y).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear F:R^2toR^3 e informa
F(-1,2)=(1,-1,1), F(1,1)=(0,1,-1)
Queremos achar uma fórmula para F(x,y). Como F é linear e os vetores (-1,2) e (1,1) são independentes em R^2, podemos usá-los como base para escrever (x,y).

Passo 2

Expressamos (x,y) como combinação linear de (-1,2) e (1,1), ou seja, existem escalares a,b tais que
(x,y)=a(-1,2)+b(1,1)
Isso gera o sistema
-a+b = x,
2a+b = y

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2a+b)-(-a+b)=y-x Longrightarrow 3a = y-x Longrightarrow a = y-x3
Em seguida, de -a+b=x segue
b = x + a = x + y-x3 = 2x+y3

Passo 4

Pela linearidade de F,
F(x,y) = a,F(-1,2) + b,F(1,1) = a,(1,-1,1) + b,(0,1,-1)
Ou seja,
F(x,y)=l(a,;-a+b,;a-br)
Substituindo a=tfracy-x3 e b=tfrac2x+y3 obtemos
l(a,,-a+b,;a-br) =l(tfracy-x3,;x,;-xr)

Resposta

F(x,y)=l(y-x3,;x,;-xr)

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