Considere a transformação R: R^3 longrightarrow R^3 definida por R(x, y, z)=(x, y,-z), conhecida como reflexão no plano x y. Mostre que R é uma transformação Linear.

Passo 1

O enunciado define a transformação
RcolonR^3toR^3 por
R(x,y,z)=(x,y,-z)
e pede para mostrar que R é linear, ou seja, satisfaz as propriedades:
  1. R(u+v)=R(u)+R(v) (aditividade)
  2. R(c,u)=c,R(u) (homogeneidade)

Passo 2

Para verificar a aditividade, seja u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2). Aplicando R temos
R(u+v) =(x1+x2,;y1+y2,;-(z1+z2)) =(x1,y1,-z1)+(x2,y2,-z2) =R(u)+R(v)

Passo 3

Para verificar a homogeneidade, seja cinR. Então
c,u=(c,x,;c,y,;c,z). Aplicando R obtemos
R(c,u) =(c,x,;c,y,;-(c,z)) =(c,x,;c,y,;c,(-z)) =c,(x,y,-z) =c,R(u)

Passo 4

Como R satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que R é uma transformação linear.

Resposta

A transformação R(x,y,z)=(x,y,-z) é linear.

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