Consideremos a transformação T: R^3 longrightarrow R^2 definida por T(x, y, z)=(x, y, 0), conhecida como projeção ortogonal. Mostre que a transformação T é uma transformação Linear.

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (x,y,0),
que na prática projeta (x,y,z) sobre o plano xy.
Queremos mostrar que T é linear, ou seja, que para quaisquer u,vinR^3 e alphainR valem
T(u+v) = T(u) + T(v) e T(alpha,u) = alpha,T(u)

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
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T(u+v) = l(x1+x2,;y1+y2,;0r) = (x1,y1,0)+(x2,y2,0) = T(u) + T(v)

Passo 3

Para um escalar alpha e u=(x1,y1,z1), temos
alpha,u = (alpha x1,;alpha y1,;alpha z1),
então
T(alpha,u) = (alpha x1,;alpha y1,;0) = alpha,(x1,y1,0) = alpha,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz as duas propriedades da definição de linearidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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