P 11.7. Seja o espaço linear complexo das matrizes com coeficientes complexos.
a) Mostre que é um produto interno em , onde tr é o traço e .
b) Determine o subespaço ortogonal ao subespaço das matrizes diagonais.
Passo 1
O enunciado define como o espaço vetorial sobre formado pelas matrizes e pede:
Mostrar que
é um produto interno em .
2. Determinar o subespaço ortogonal ao subespaço das matrizes diagonais.
Para (a) vamos verificar as três propriedades de um produto interno complexo: conjugada simetria, sesquilinearidade e positividade definida. Para (b) usaremos a condição de ortogonalidade para toda matriz diagonal .
Passo 2
(Propriedade de conjugada simetria e sesquilinearidade)
Sejam e .
Para essa soma ser sempre zero, é necessário e suficiente que mii=0 para todo i, isto é mii=0. Logo
D^perp =Min V : mii=0 para todo i,
o subespaço das matrizes cuja diagonal principal é zero.
Resposta
a) lang<= A,Brang<= = tr(A,B^*) satisfaz conjugada simetria, sesquilinearidade e positividade definida, logo é produto interno em V.
b) O subespaço ortogonal às matrizes diagonais é
D^perp = Min V : mii=0 forall i,
isto é, todas as matrizes com entradas diagonais nulas.