P 11.7. Seja V o espaço linear complexo das matrizes n times n com coeficientes complexos.
a) Mostre que lang<= A, Brang<==tr(A B^*) é um produto interno em V, onde tr é o traço e B^*=barB^t.
b) Determine o subespaço ortogonal ao subespaço das matrizes diagonais.

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial sobre C formado pelas matrizes ntimes n e pede:
  1. Mostrar que
lang<= A,Brang<= = trl(A,B^*r)
é um produto interno em V.
2. Determinar o subespaço ortogonal ao subespaço das matrizes diagonais.
Para (a) vamos verificar as três propriedades de um produto interno complexo: conjugada simetria, sesquilinearidade e positividade definida. Para (b) usaremos a condição de ortogonalidade lang<= D,Mrang<==0 para toda matriz diagonal D.

Passo 2

(Propriedade de conjugada simetria e sesquilinearidade)
Sejam A,B,Cin V e lambdainC.
  1. Conjugada simetria:
lang<= A,Brang<= = tr(A,B^*) = tr(B,A^*) = lang<= B,Arang<=
  1. Linearidade no primeiro argumento:
lang<= lambda A + C,,Brang<= = trl((lambda A + C)B^*r) = lambda,tr(A B^*) + tr(C B^*) = lambdalang<= A,Brang<= + lang<= C,Brang<=
  1. Conjugada linearidade no segundo argumento:
lang<= A,,lambda Brang<= = trl(A,(lambda B)^*r) = trl(A,barlambda,B^*r) = barlambda,tr(A B^*) = barlambda,lang<= A,Brang<=

Passo 3

(Positividade definida)
Para toda Ain V,
lang<= A,Arang<= = tr(A,A^*) = sumi=1^nsumj=1^n aij,aij = sumi,jl|aijr|^2 ;>= 0
E lang<= A,Arang<= =0 implica l|aijr|^2=0 para todo i,j, logo A=0. Portanto é produto interno.

Passo 4

(Subespaço ortogonal às matrizes diagonais)
Denote por Dsubset V o subespaço das matrizes diagonais. Queremos
D^perp = Min V : lang<= D,Mrang<= = 0,;forall DinD
Seja M=(mij) e tome D diagonal genérica, com entradas dii. Então
lang<= D,Mrang<= = tr(D,M^*) = sumi=1^n dii,mii = 0 forall,diiinC
Para essa soma ser sempre zero, é necessário e suficiente que mii=0 para todo i, isto é mii=0. Logo
D^perp =Min V : mii=0 para todo i,
o subespaço das matrizes cuja diagonal principal é zero.

Resposta

a) lang<= A,Brang<= = tr(A,B^*) satisfaz conjugada simetria, sesquilinearidade e positividade definida, logo é produto interno em V.
b) O subespaço ortogonal às matrizes diagonais é
D^perp = Min V : mii=0 forall i,
isto é, todas as matrizes com entradas diagonais nulas.

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