P 11.6. Determine um produto interno lang<=, rang<= de R^2 tal que lang<=(1,0),(0,1)rang<==2.

Passo 1

O enunciado pede determinar um produto interno em R^2 tal que lang<=(1,0),(0,1)rang<==2. Vamos usar que qualquer produto interno em R^2 pode ser dado por lang<= x,yrang<= = x^T A y com A simétrica e definida positiva.

Passo 2

Seja
com . Então para e definimos
As condições de produto interno exigem

Passo 3

Impondo
lang<=(1,0),(0,1)rang<= = b = 2,
fixamos b=2. Para garantir positividade basta ter ac>4.

Passo 4

Escolhendo por exemplo a=1 e c=5 temos 1cdot5 - 2^2 = 1>0. Logo
A = 1&22&5
e o produto interno fica
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + 2(x1y2+x2y1) + 5,x2y2,
que satisfaz lang<=(1,0),(0,1)rang<==2.

Resposta

Uma escolha válida é
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + 2(x1y2+x2y1) + 5,x2y2,
pois define um produto interno em R^2 com lang<=(1,0),(0,1)rang<==2.

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