Considere a transformação T: \mathbf{R}^{3} \longrightarrow \mathbf{R}^{2} tal que T(x, y, z)=(x+y, y-z).
(a) Prove que T é linear.
(b) Considere as bases \beta=\{(1,1,1),(0,0,1),(-1,1,1)\} e \beta^{\prime}=\{(3,0),(1,1)\} para o \mathbb{R}^{3} e \mathbf{R}^{2} respectivamente. Determine a matriz |T|_{\beta^{\prime}}^{\beta}
(c) Sendo v=(5,1,-2), calcule [T(v)]_{\beta} utilizando a matriz encontrada no item (b).
(d) Determine o NucT e ImT.
(e) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y-z).
As perguntas são:
(a) Provar que T é linear.
(b) Para as bases \beta=\{(1,1,1),(0,0,1),(-1,1,1)\} de \mathbf{R}^3 e \beta'=\{(3,0),(1,1)\} de \mathbf{R}^2, determinar a matriz |T|_{\beta'}^{\beta}.
(c) Sendo v=(5,1,-2), calcular [T(v)]_{\beta} usando a matriz do item (b). (Observação: T(v)\in\mathbf{R}^2, portanto interpretarei a pedido como as coordenadas de T(v) na base \beta' do contradomínio.)
(d) Determinar \mathrm{Nuc}\,T e \mathrm{Im}\,T.
(e) Dizer se T é injetora e/ou sobrejetora, com justificativa.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de T e as bases \beta e \beta'.

Passo 2

(a) O que significa ser linear? Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v e escalar \lambda, valem:
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(\lambda u)=\lambda T(u).
Vou verificar essas propriedades diretamente usando a definição de T.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T a u+v:
T(u+v)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(y_1+y_2)-(z_1+z_2)\big).
Reagrupando soma por soma:
T(u+v)=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(y_1-z_1)+(y_2-z_2)\big).
Mas (x_1+y_1,\;y_1-z_1)=T(u) e (x_2+y_2,\;y_2-z_2)=T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).
Agora seja \lambda\in\mathbf{R} e u=(x,y,z). Então
\lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z),
e
T(\lambda u)=\big(\lambda x+\lambda y,\;\lambda y-\lambda z\big)=\lambda(x+y,\;y-z)=\lambda T(u).
Como ambas propriedades são verificadas, T é linear.

Passo 3

(b) Para obter a matriz |T|_{\beta'}^{\beta} (representação de T da base \beta do domínio para a base \beta' do contradomínio) fazemos o processo padrão: aplicar T a cada vetor da base \beta e escrever cada imagem como combinação linear dos vetores de \beta'. As coordenadas obtidas formam as colunas da matriz.
Primeiro, listamos os vetores da base \beta:
u_1=(1,1,1),\qquad u_2=(0,0,1),\qquad u_3=(-1,1,1).
Calculemos T(u_1),T(u_2),T(u_3).
Para u_1=(1,1,1):
T(u_1)=(1+1,\;1-1)=(2,0).
Queremos expressar (2,0) na base \beta'=\{w_1=(3,0),\;w_2=(1,1)\}. Procuramos escalares a,b tais que
a w_1 + b w_2 = (2,0).
Ou seja,
a(3,0)+b(1,1)=(3a+b,\;b)=(2,0).
Das segundas coordenadas obtemos b=0. Substituindo na primeira coordenada, 3a=2, logo a=\tfrac{2}{3}. Assim as coordenadas de T(u_1) em \beta' são
[T(u_1)]_{\beta'}=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para u_2=(0,0,1):
T(u_2)=(0+0,\;0-1)=(0,-1).
Procuramos a,b com
3a+b=0,\qquad b=-1.
Da segunda equação b=-1. Então 3a-1=0, logo a=\tfrac{1}{3}. Portanto
[T(u_2)]_{\beta'}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Para u_3=(-1,1,1):
T(u_3)=(-1+1,\;1-1)=(0,0).
A imagem é o vetor zero, cuja coordenada na base \beta' é o vetor coluna zero:
[T(u_3)]_{\beta'}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As colunas da matriz |T|_{\beta'}^{\beta} são exatamente esses vetores coluna (na ordem dos vetores de \beta). Logo
|T|_{\beta'}^{\beta}= \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

(c) Agora queremos calcular [[T(v)]_{\beta}) usando a matriz do item (b). Como observado antes, T(v) está em \mathbf{R}^2, então a coordenada apropriada em relação a uma base do contradomínio é [T(v)]_{\beta'}. Vou calcular [T(v)]_{\beta'} multiplicando |T|_{\beta'}^{\beta} pelo vetor coluna [v]_{\beta} (que é a coordenada de v na base \beta).
Primeiro encontramos [v]_{\beta}. Procuramos escalares a,b,c tais que
a(1,1,1)+b(0,0,1)+c(-1,1,1)=(5,1,-2).
Somando coordenadas:
(a+0-c,\;a+0+c,\;a+b+c)=(5,1,-2).
Isto gera o sistema
\begin{cases} a-c=5,\\[4pt] a+c=1,\\[4pt] a+b+c=-2. \end{cases}
Da soma das duas primeiras equações vem 2a=6\], assim \(a=3. Substituindo em a+c=1 obtemos 3+c=1 então c=-2. Finalmente, da terceira equação 3+b-2=-2 resulta b=-3.
Portanto
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos a matriz |T|_{\beta'}^{\beta} pelo vetor [v]_{\beta}:
\begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3}\cdot 3 + \tfrac{1}{3}\cdot(-3) + 0\cdot(-2)\\[6pt] 0\cdot 3 + (-1)\cdot(-3) + 0\cdot(-2) \end{pmatrix}.
Calculemos cada entrada:
\text{primeira}=\;2 + (-1)=1,\qquad \text{segunda}=\;3.
Logo
[T(v)]_{\beta'}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Como verificação rápida (opcional): calcular diretamente T(v):
T(5,1,-2)=(5+1,\;1-(-2))=(6,3).
Expressar (6,3) na base \beta': resolver 3a+b=6,\;b=3 a=1. Coordenadas (1,3), que coincidem com o resultado anterior.]

Passo 5

(d) Determinar [\mathrm{Nuc},T) (kernel) e \mathrm{Im}\,T (imagem).
Kernel: resolver T(x,y,z)=(x+y,\;y-z)=(0,0). Isso dá o sistema
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y-z=0. \end{cases}
Da primeira equação x=-y\]. Da segunda \(z=y. Assim os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z)=(-y,y,y)=y(-1,1,1),\quad y\in\mathbf{R}.
Portanto
\mathrm{Nuc}\,T=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\},
que é uma subreta unidimensional (dimensão 1).
Imagem: uma maneira prática é olhar para a matriz de T na base canônica. A expressão T(x,y,z)=(x+y,\;y-z) corresponde à matriz (na base padrão)
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\end{pmatrix},
cujas colunas são c_1=(1,0),\;c_2=(1,1),\;c_3=(0,-1). A imagem de T é o espaço gerado por essas colunas:
\mathrm{Im}\,T=\operatorname{span}\{(1,0),\;(1,1),\;(0,-1)\}.
Note que (1,0) e (1,1) já são linearmente independentes em \mathbf{R}^2, então sua combinação gera todo \mathbf{R}^2. Alternativamente, c_3=(0,-1) é combinação linear de c_1 e c_2 (de fato c_2-c_1=(0,1) e múltiplos produzem c_3), mas a presença de dois vetores linearmente independentes numa subespaço de \mathbf{R}^2 força \mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2.
Portanto
\mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2.]

Passo 6

(e) Injetividade e sobrejetividade.
  • Injetividade: T é injetora se e somente se \mathrm{Nuc}\,T=\{0\}. Encontramos \mathrm{Nuc}\,T=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\}, que contém vetores não nulos. Logo \mathrm{Nuc}\,T\neq\{0\} e T não é injetora.
  • Sobrejetividade: T é sobrejetora se \mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2. Como já achamos \mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2, T é sobrejetora.
Também se quiser justificar com dimensão: \dim(\mathbf{R}^3)=3. Temos \dim(\mathrm{Nuc}\,T)=1, logo pelo teorema da dimensão (nullity + rank = 3) vem \dim(\mathrm{Im}\,T)=2, que é a dimensão de \mathbf{R}^2, confirmando que a imagem é todo \mathbf{R}^2 e, portanto, T é sobrejetora.

Resposta

(a) T é linear.
(b) \displaystyle |T|_{\beta'}^{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt]0 & -1 & 0\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle [T(v)]_{\beta'}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle \mathrm{Nuc}\,T=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\},\qquad \mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2.
(e) T não é injetora; T é sobrejetora.]

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