Considere a transformação T: \mathbf{R}^{3} \longrightarrow \mathbf{R}^{2} tal que T(x, y, z)=(x+y, y-z).
(a) Prove que T é linear.
(b) Considere as bases \beta=\{(1,1,1),(0,0,1),(-1,1,1)\} e \beta^{\prime}=\{(3,0),(1,1)\} para o \mathbb{R}^{3} e \mathbf{R}^{2} respectivamente. Determine a matriz |T|_{\beta^{\prime}}^{\beta}
(c) Sendo v=(5,1,-2), calcule [T(v)]_{\beta} utilizando a matriz encontrada no item (b).
(d) Determine o NucT e ImT.
(e) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y-z).
As perguntas são:
(a) Provar que T é linear.
(b) Para as bases \beta=\{(1,1,1),(0,0,1),(-1,1,1)\} de \mathbf{R}^3 e \beta'=\{(3,0),(1,1)\} de \mathbf{R}^2, determinar a matriz |T|_{\beta'}^{\beta}.
(c) Sendo v=(5,1,-2), calcular [T(v)]_{\beta} usando a matriz do item (b). (Observação: T(v)\in\mathbf{R}^2, portanto interpretarei a pedido como as coordenadas de T(v) na base \beta' do contradomínio.)
(d) Determinar \mathrm{Nuc}\,T e \mathrm{Im}\,T.
(e) Dizer se T é injetora e/ou sobrejetora, com justificativa.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de T e as bases \beta e \beta'.
Passo 2
(a) O que significa ser linear? Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v e escalar \lambda, valem:
Como ambas propriedades são verificadas, T é linear.
Passo 3
(b) Para obter a matriz |T|_{\beta'}^{\beta} (representação de T da base \beta do domínio para a base \beta' do contradomínio) fazemos o processo padrão: aplicar T a cada vetor da base \beta e escrever cada imagem como combinação linear dos vetores de \beta'. As coordenadas obtidas formam as colunas da matriz.
(c) Agora queremos calcular [[T(v)]_{\beta}) usando a matriz do item (b). Como observado antes, T(v) está em \mathbf{R}^2, então a coordenada apropriada em relação a uma base do contradomínio é [T(v)]_{\beta'}. Vou calcular [T(v)]_{\beta'} multiplicando |T|_{\beta'}^{\beta} pelo vetor coluna [v]_{\beta} (que é a coordenada de v na base \beta).
Primeiro encontramos [v]_{\beta}. Procuramos escalares a,b,c tais que
Da soma das duas primeiras equações vem 2a=6\], assim \(a=3. Substituindo em a+c=1 obtemos 3+c=1 então c=-2. Finalmente, da terceira equação 3+b-2=-2 resulta b=-3.
Note que (1,0) e (1,1) já são linearmente independentes em \mathbf{R}^2, então sua combinação gera todo \mathbf{R}^2. Alternativamente, c_3=(0,-1) é combinação linear de c_1 e c_2 (de fato c_2-c_1=(0,1) e múltiplos produzem c_3), mas a presença de dois vetores linearmente independentes numa subespaço de \mathbf{R}^2 força \mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2.
Portanto
\mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2.]
Passo 6
(e) Injetividade e sobrejetividade.
Injetividade: T é injetora se e somente se \mathrm{Nuc}\,T=\{0\}. Encontramos \mathrm{Nuc}\,T=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\}, que contém vetores não nulos. Logo \mathrm{Nuc}\,T\neq\{0\} e T não é injetora.
Sobrejetividade: T é sobrejetora se \mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2. Como já achamos \mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2, T é sobrejetora.
Também se quiser justificar com dimensão: \dim(\mathbf{R}^3)=3. Temos \dim(\mathrm{Nuc}\,T)=1, logo pelo teorema da dimensão (nullity + rank = 3) vem \dim(\mathrm{Im}\,T)=2, que é a dimensão de \mathbf{R}^2, confirmando que a imagem é todo \mathbf{R}^2 e, portanto, T é sobrejetora.
(c) \displaystyle [T(v)]_{\beta'}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle \mathrm{Nuc}\,T=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\},\qquad \mathrm{Im}\,T=\mathbf{R}^2.
(e) T não é injetora; T é sobrejetora.]