Considere a transformação T e responda as questões a seguir
(a)
(b)
(c)
?
(d) Encontre
(e) Encontre
(b)
(c)
(d) Encontre
(e) Encontre
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As perguntas são:
(a) ?
(b) ?
(c) ?
(d) Encontrar .
(e) Encontrar .
(a)
(b)
(c)
(d) Encontrar
(e) Encontrar
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significam
e
(definições fundamentais que vou usar):
Isto é: zero da transformação é o conjunto de vetores que vão para o vetor nulo; imagem é o conjunto de vetores que aparecem como saída de
.
Passo 3
Também é útil ver a forma explícita da ação de
. Para um vetor qualquer
temos sempre
Note que a saída só depende da primeira coordenada
; a segunda coordenada
é descartada.
Passo 4
Verificar se
. Calculo
:
Como a imagem é o vetor nulo
, pelo critério da definição concluímos que
pertence à
. Resposta: sim.
Passo 5
Verificar se
. Calculo
:
Esse vetor não é o vetor nulo
, portanto
NÃO pertence à
. Resposta: não.
Passo 6
Verificar se
. Queremos saber se existe
tal que
. Como
, basta escolher
e qualquer
(por exemplo
). Assim, por exemplo,
Portanto
está na imagem de
. Resposta: sim.
Passo 7
Procuramos todos
com
. Escrevendo a condição:
Não há nenhuma condição sobre
: qualquer
serve desde que
. Portanto
Uma descrição alternativa é em termos de subespaço gerado:
Explanação rápida: isso é a reta vertical (eixo
) em
.
Passo 8
A imagem é o conjunto de todos vetores possíveis
quando
percorre
. Logo todos os vetores da forma
com
aparecem. Assim
Em termos de subespaço gerado:
Explicação intuitiva: é o eixo
em
.
Passo 9
Como verificação rápida:
tem dimensão
(gerado por
) e
tem dimensão
(gerado por
). Para uma transformação linear de um espaço de dimensão
isso faz sentido (dimensão do núcleo + dimensão da imagem =
). Isto confirma que os resultados são coerentes.
Resposta
(a) Sim.
(b) Não.
(c) Sim.
(d)
(e)
(b) Não.
(c) Sim.
(d)
(e)