Considere a transformação T e responda as questões a seguir
\begin{array}{lclc} T: & R^{2} & \longrightarrow & R^{2} \\\ & (x, y) & \longmapsto & (x, 0) \end{array}
(a) (0,2) \in \operatorname{Ker}(T) ?
(b) (2,2) \in \operatorname{Ker}(T) ?
(c) (3,0) \in \operatorname{Im}(T) ?
(d) Encontre \operatorname{Ker}(T)
(e) Encontre \operatorname{Im}(T)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x,0).
As perguntas são:
(a) (0,2)\in\operatorname{Ker}(T)?
(b) (2,2)\in\operatorname{Ker}(T)?
(c) (3,0)\in\operatorname{Im}(T)?
(d) Encontrar \operatorname{Ker}(T).
(e) Encontrar \operatorname{Im}(T).

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significam \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T) (definições fundamentais que vou usar):
\operatorname{Ker}(T)=\{v\in\mathbb{R}^{2}\mid T(v)= (0,0)\},
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^{2}\}.
Isto é: zero da transformação é o conjunto de vetores que vão para o vetor nulo; imagem é o conjunto de vetores que aparecem como saída de T.

Passo 3

Também é útil ver a forma explícita da ação de T. Para um vetor qualquer (x,y) temos sempre
T(x,y)=(x,0).
Note que a saída só depende da primeira coordenada x; a segunda coordenada y é descartada.

Passo 4

Verificar se (0,2)\in\operatorname{Ker}(T). Calculo T(0,2):
T(0,2)=(0,0).
Como a imagem é o vetor nulo (0,0), pelo critério da definição concluímos que (0,2) pertence à \operatorname{Ker}(T). Resposta: sim.

Passo 5

Verificar se (2,2)\in\operatorname{Ker}(T). Calculo T(2,2):
T(2,2)=(2,0).
Esse vetor não é o vetor nulo (0,0), portanto (2,2) NÃO pertence à \operatorname{Ker}(T). Resposta: não.

Passo 6

Verificar se (3,0)\in\operatorname{Im}(T). Queremos saber se existe (x,y) tal que T(x,y)=(3,0). Como T(x,y)=(x,0), basta escolher x=3 e qualquer y (por exemplo y=0). Assim, por exemplo,
T(3,0)=(3,0).
Portanto (3,0) está na imagem de T. Resposta: sim.

Passo 7

Procuramos todos (x,y) com T(x,y)=(0,0). Escrevendo a condição:
T(x,y)=(x,0)=(0,0)\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Não há nenhuma condição sobre y: qualquer y\in\mathbb{R} serve desde que x=0. Portanto
\operatorname{Ker}(T)=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
Uma descrição alternativa é em termos de subespaço gerado:
\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{(0,1)\}.
Explanação rápida: isso é a reta vertical (eixo y) em \mathbb{R}^2.

Passo 8

A imagem é o conjunto de todos vetores possíveis T(x,y)=(x,0) quando (x,y) percorre \mathbb{R}^{2}. Logo todos os vetores da forma (x,0) com x\in\mathbb{R} aparecem. Assim
\operatorname{Im}(T)=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Em termos de subespaço gerado:
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0)\}.
Explicação intuitiva: é o eixo x em \mathbb{R}^2.

Passo 9

Como verificação rápida: \operatorname{Ker}(T) tem dimensão 1 (gerado por (0,1)) e \operatorname{Im}(T) tem dimensão 1 (gerado por (1,0)). Para uma transformação linear de um espaço de dimensão 2 isso faz sentido (dimensão do núcleo + dimensão da imagem = 2). Isto confirma que os resultados são coerentes.

Resposta

(a) Sim.
(b) Não.
(c) Sim.
(d) \operatorname{Ker}(T)=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1)\}.
(e) \operatorname{Im}(T)=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0)\}.

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