Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
O que o problema pede:
- Mostrar que
é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades que definem linearidade). - Encontrar a matriz de
em relação às bases canônicas padrão de e .
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A regra que associa cada vetor
ao vetor . - Não há outras restrições: trabalhar com as bases canônicas usuais.
Passo 2
Definição e estratégia (passo didático curto): para mostrar que
é linear devemos verificar duas propriedades para quaisquer vetores
e qualquer escalar
:
Aqui vou escrever
e
para fazer as contas de forma explícita e clara.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Calcule primeiro
:
Agora aplique
em
:
Agrupando termos por soma:
Mas isso é exatamente
Portanto a propriedade de aditividade vale.
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Considere
e
. Então
.
Aplique em
:
Aplique
Fatorando
em cada componente:
Logo a homogeneidade também vale.
Passo 5
Conclusão sobre linearidade.
Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários e escalar arbitrário, concluímos que
é uma transformação linear.
Passo 6
Como obter a matriz de uma transformação linear (explicação didática curta).
Para uma transformação linear
, a matriz
relativa às bases canônicas é a matriz
cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de
:
- primeira coluna =
com , - segunda coluna =
com , - terceira coluna =
com .
Isso funciona porque qualquer vetor
é
e, por linearidade,
que corresponde à multiplicação da matriz
pelo vetor coluna
.
Passo 7
Calcular as colunas (as imagens dos vetores da base) e formar a matriz.
Calcule
,
,
:
Colocando essas imagens como colunas na ordem
obtemos a matriz
de
:
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): multiplicar
por um vetor genérico
e ver que retorna a regra original.
Calcule
:
que é exatamente
. Pronto — tudo consistente.]