Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
T: R^{3} \longrightarrow R^{2} (x, y, z) \longmapsto(x-y+z, 2 x+y-3 z)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z) = (x - y + z,\; 2x + y - 3z).
O que o problema pede:
  • Mostrar que T é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades que definem linearidade).
  • Encontrar a matriz de T em relação às bases canônicas padrão de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A regra que associa cada vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ao vetor (x-y+z,\;2x+y-3z)\in\mathbb{R}^2.
  • Não há outras restrições: trabalhar com as bases canônicas usuais.

Passo 2

Definição e estratégia (passo didático curto): para mostrar que T é linear devemos verificar duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
\text{(Aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\qquad T(cu)=c\,T(u).
Aqui vou escrever u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) para fazer as contas de forma explícita e clara.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Calcule primeiro u+v:
u+v = (x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Agora aplique T em u+v:
T(u+v) = \big((x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\; 2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-3(z_1+z_2)\big).
Agrupando termos por soma:
T(u+v) = \big((x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2),\; (2x_1+y_1-3z_1)+(2x_2+y_2-3z_2)\big).
Mas isso é exatamente
T(u+v) = T(u) + T(v).
Portanto a propriedade de aditividade vale.

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(cu)=c\,T(u).
Considere u=(x,y,z) e c\in\mathbb{R}. Então c u = (cx,cy,cz).
Aplique T em c u:
T(cu) = (cx - cy + cz,\; 2(cx) + (cy) - 3(cz)).
Fatorando c em cada componente:
T(cu) = c\,(x - y + z,\; 2x + y - 3z) = c\,T(u).
Logo a homogeneidade também vale.

Passo 5

Conclusão sobre linearidade.
Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários e escalar arbitrário, concluímos que T é uma transformação linear.

Passo 6

Como obter a matriz de uma transformação linear (explicação didática curta).
Para uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, a matriz A relativa às bases canônicas é a matriz 2\times 3 cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
  • primeira coluna = T(e_1) com e_1=(1,0,0),
  • segunda coluna = T(e_2) com e_2=(0,1,0),
  • terceira coluna = T(e_3) com e_3=(0,0,1).
Isso funciona porque qualquer vetor (x,y,z) é x e_1 + y e_2 + z e_3 e, por linearidade,
T(x,y,z) = x\,T(e_1) + y\,T(e_2) + z\,T(e_3),
que corresponde à multiplicação da matriz A pelo vetor coluna (x,y,z)^{T}.

Passo 7

Calcular as colunas (as imagens dos vetores da base) e formar a matriz.
Calcule T(e_1), T(e_2), T(e_3):
T(1,0,0) = (1-0+0,\;2\cdot1+0-3\cdot0) = (1,\;2).
T(0,1,0) = (0-1+0,\;2\cdot0+1-3\cdot0) = (-1,\;1).
T(0,0,1) = (0-0+1,\;2\cdot0+0-3\cdot1) = (1,\;-3).
Colocando essas imagens como colunas na ordem e_1,e_2,e_3 obtemos a matriz A de T:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): multiplicar A por um vetor genérico (x,y,z)^{T} e ver que retorna a regra original.
Calcule A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + (-1)\cdot y + 1\cdot z\\[4pt] 2\cdot x + 1\cdot y + (-3)\cdot z \end{pmatrix} = (x-y+z,\;2x+y-3z),
que é exatamente T(x,y,z). Pronto — tudo consistente.]

Resposta

T é linear.
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]2 & 1 & -3\end{pmatrix}]

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