Seja T: M_{2 \times 2} \longrightarrow M_{2 \times 2} a transformação definida por
T\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & d \end{array}\right]
Descreva o núcleo e a imagem de T e verifique se as matrizes a seguir pertencem ao núcleo.
(a) \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear (provavelmente) T que age sobre matrizes 2\times2. Especificamente:
Para uma matriz genérica \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} temos
Para que essa imagem seja a matriz zero \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, é necessário e suficiente que os elementos \,a e \,d sejam zero.]
Passo 4
Logo, o núcleo é o conjunto de todas as matrizes com a=0 e d=0. Escrevendo isso explicitamente:
\ker(T)=\left\{\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix}\;\middle|\; b,c\in\mathbb{R}\right\}.
Isto significa que qualquer matriz do núcleo tem a forma \begin{pmatrix}0 & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix}.]
Passo 5
É útil expressar o núcleo como um span (isso ajuda na prova e na intuição). Note que
Agora a imagem. Observe que ao aplicar T a qualquer matriz \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} o resultado é sempre uma matriz diagonal \begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}. Assim a imagem é exatamente o conjunto de todas as matrizes diagonais 2\times2:
Portanto \dim(\operatorname{Im}(T))=2. (Bônus didático: aqui dá para checar a relação \dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=2+2=4, que é \dim(M_{2\times2}), conforme o teorema dimensão imagem-núcleo.)]