Seja T: M_{2 \times 2} \longrightarrow M_{2 \times 2} a transformação definida por
T\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & d \end{array}\right]
Descreva o núcleo e a imagem de T e verifique se as matrizes a seguir pertencem ao núcleo.
(a) \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear (provavelmente) T que age sobre matrizes 2\times2. Especificamente:
  • Para uma matriz genérica \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} temos
T\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}.
  • O problema pede:
    1. Descrever o núcleo de T (o conjunto de matrizes que vão para a matriz zero).
    2. Descrever a imagem de T (o conjunto de matrizes que aparecem como T(X) para algum X).
    3. Verificar se as matrizes abaixo pertencem ao núcleo:(a) \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}(b) \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa núcleo e imagem (vamos com calma):
  • O núcleo de T, escrito \ker(T), é o conjunto de todas as matrizes X tais que T(X)=0 (onde 0 é a matriz zero 2\times2). Em símbolos:
\ker(T)=\{X\in M_{2\times2}\mid T(X)=0\}.
  • A imagem de T, escrita \operatorname{Im}(T), é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como T(X) para algum X:
\operatorname{Im}(T)=\{T(X)\mid X\in M_{2\times2}\}.
Isso é tudo que precisamos conceitualmente; agora vamos aplicar ao T dado.

Passo 3

Vamos aplicar T a uma matriz genérica e ver que condições são impostas para T(X)=0.
T\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}.
Para que essa imagem seja a matriz zero \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, é necessário e suficiente que os elementos \,a e \,d sejam zero.]

Passo 4

Logo, o núcleo é o conjunto de todas as matrizes com a=0 e d=0. Escrevendo isso explicitamente:
\ker(T)=\left\{\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix}\;\middle|\; b,c\in\mathbb{R}\right\}.
Isto significa que qualquer matriz do núcleo tem a forma \begin{pmatrix}0 & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

É útil expressar o núcleo como um span (isso ajuda na prova e na intuição). Note que
\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Portanto
\ker(T)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\right\}.
Dessa forma fica claro que \dim(\ker(T))=2.]

Passo 6

Agora a imagem. Observe que ao aplicar T a qualquer matriz \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} o resultado é sempre uma matriz diagonal \begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}. Assim a imagem é exatamente o conjunto de todas as matrizes diagonais 2\times2:
\operatorname{Im}(T)=\left\{\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}\;\middle|\; a,d\in\mathbb{R}\right\}.]

Passo 7

Escrevendo a imagem como span, temos
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
Portanto \dim(\operatorname{Im}(T))=2. (Bônus didático: aqui dá para checar a relação \dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=2+2=4, que é \dim(M_{2\times2}), conforme o teorema dimensão imagem-núcleo.)]

Passo 8

Agora verificações pedidas: primeiro a matriz (a)
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Aplicando T,
T(A)=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Como T(A) não é a matriz zero (os elementos 1 e 3 não são ambos zero), concluímos que A não pertence a \ker(T).]

Passo 9

Agora a matriz (b)
B=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}.
Aplicando T,
T(B)=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}.
Novamente isso não é a matriz zero (os elementos diagonais são 3 e -3, não ambos zero), logo B também não pertence a \ker(T).]

Resposta

\ker(T)=\left\{\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix}\mid b,c\in\mathbb{R}\right\}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\right\}
\operatorname{Im}(T)=\left\{\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}\mid a,d\in\mathbb{R}\right\}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}
(a) Não pertence ao núcleo.
(b) Não pertence ao núcleo.]

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