Seja
\begin{array}{lclc} T: & R^{2} & \longrightarrow & R^{3} \\\ & (x, y) & \longmapsto & (x, x+y, y) \end{array}
a) Encontre \operatorname{Ker}(T)
b) Encontre uma base para \operatorname{Ker}(T)
c) Encontre uma base para \operatorname{Im}(T)
d) Verifique o teorema do núcleo e imagem.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 definida por
T(x,y) = (x,\; x+y,\; y).
As perguntas são:
(a) encontrar \operatorname{Ker}(T);
(b) encontrar uma base para \operatorname{Ker}(T);
(c) encontrar uma base para \operatorname{Im}(T);
(d) verificar o teorema do núcleo e imagem (rank-nullity).
Informações relevantes dadas:
  • A regra de T aplicada ao vetor (x,y) retorna o vetor (x,\;x+y,\;y) em \mathbb{R}^3.
  • O domínio é \mathbb{R}^2 (dimensão 2) e a imagem está contida em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos escrever T na forma de matriz em relação às bases canônicas. Aplicando T aos vetores canônicos de \mathbb{R}^2:
T(1,0) = (1,1,0),\qquad T(0,1)=(0,1,1).
Portanto a matriz de T (colunas sendo T(e_1),T(e_2)) é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
onde para todo \,(x,y)^T\in\mathbb{R}^2 vale \;T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição e estratégia para encontrar \operatorname{Ker}(T):
  • Por definição, \operatorname{Ker}(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0,0)\}.
  • Logo devemos resolver o sistema obtido impondo T(x,y)=(0,0,0). Escrevendo componente a componente:
(x,\; x+y,\; y)=(0,0,0)
isso gera as equações
\begin{cases} x = 0,\\[4pt] x+y = 0,\\[4pt] y = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema do passo anterior:
  • Da primeira equação vem x=0.
  • Da terceira equação vem y=0.
  • A segunda equação x+y=0 é satisfeita por x=0 e y=0.
    Portanto a única solução é (x,y)=(0,0). Conclusão:
\operatorname{Ker}(T)=\{(0,0)\},
ou seja, o núcleo é o subespaço trivial.

Passo 5

Base do núcleo:
  • Um subespaço que contém apenas o vetor nulo tem dimensão 0.
  • A única base possível para um espaço de dimensão 0 é o conjunto vazio (não se inclui o vetor nulo numa base).
    Assim, uma base de \operatorname{Ker}(T) é o conjunto vazio \varnothing e \dim\operatorname{Ker}(T)=0.

Passo 6

Encontrar \operatorname{Im}(T):
  • A imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A, isto é
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1,0),\; (0,1,1)\}.
  • Em termos dos vetores da forma T(x,y)=(x,\;x+y,\;y), todo vetor da imagem tem coordenadas (u,v,w) satisfazendo v = u + w. Isso mostra geometricamente que a imagem é um plano em \mathbb{R}^3 dado por \{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3 \mid v = u+w\}.

Passo 7

Verificar que (1,1,0) e (0,1,1) são linearmente independentes (portanto formam uma base da imagem):
  • Considere a(1,1,0)+b(0,1,1)=(0,0,0). Isso dá o sistema
(a,\; a+b,\; b)=(0,0,0).
  • Da primeira equação vem a=0. Da terceira vem b=0. Logo a=b=0 é a única solução, provando a independência linear.
  • Como são dois vetores independentes gerando \operatorname{Im}(T), eles formam uma base.
    Portanto uma base para \operatorname{Im}(T) é
\{(1,1,0),\; (0,1,1)\},
e \dim\operatorname{Im}(T)=2.

Passo 8

Verificação do teorema do núcleo e imagem (rank-nullity):
  • O teorema diz que para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 vale
\dim\mathbb{R}^2 = \dim\operatorname{Ker}(T) + \dim\operatorname{Im}(T).
  • Aqui \dim\mathbb{R}^2=2, \dim\operatorname{Ker}(T)=0 (Passo 5) e \dim\operatorname{Im}(T)=2 (Passo 7). Então
2 = 0 + 2,
logo o teorema é verificado.

Resposta

(a) \operatorname{Ker}(T)=\{(0,0)\}
(b) Base de \operatorname{Ker}(T): \varnothing (conjunto vazio), \dim\operatorname{Ker}(T)=0
(c) Base de \operatorname{Im}(T): \{(1,1,0),\; (0,1,1)\}, \dim\operatorname{Im}(T)=2
(d) Verificação: \dim\mathbb{R}^2 = 2 = \dim\operatorname{Ker}(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=0+2, logo o teorema do núcleo e imagem vale.

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