a) Encontre \operatorname{Ker}(T)
b) Encontre uma base para \operatorname{Ker}(T)
c) Encontre uma base para \operatorname{Im}(T)
d) Verifique o teorema do núcleo e imagem.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 definida por
T(x,y) = (x,\; x+y,\; y).
As perguntas são:
(a) encontrar \operatorname{Ker}(T);
(b) encontrar uma base para \operatorname{Ker}(T);
(c) encontrar uma base para \operatorname{Im}(T);
(d) verificar o teorema do núcleo e imagem (rank-nullity).
Informações relevantes dadas:
A regra de T aplicada ao vetor (x,y) retorna o vetor (x,\;x+y,\;y) em \mathbb{R}^3.
O domínio é \mathbb{R}^2 (dimensão 2) e a imagem está contida em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Vamos escrever T na forma de matriz em relação às bases canônicas. Aplicando T aos vetores canônicos de \mathbb{R}^2:
T(1,0) = (1,1,0),\qquad T(0,1)=(0,1,1).
Portanto a matriz de T (colunas sendo T(e_1),T(e_2)) é
onde para todo \,(x,y)^T\in\mathbb{R}^2 vale \;T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.]
Passo 3
Definição e estratégia para encontrar \operatorname{Ker}(T):
Por definição, \operatorname{Ker}(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0,0)\}.
Logo devemos resolver o sistema obtido impondo T(x,y)=(0,0,0). Escrevendo componente a componente:
(x,\; x+y,\; y)=(0,0,0)
isso gera as equações
\begin{cases} x = 0,\\[4pt] x+y = 0,\\[4pt] y = 0. \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema do passo anterior:
Da primeira equação vem x=0.
Da terceira equação vem y=0.
A segunda equação x+y=0 é satisfeita por x=0 e y=0.
Portanto a única solução é (x,y)=(0,0). Conclusão:
\operatorname{Ker}(T)=\{(0,0)\},
ou seja, o núcleo é o subespaço trivial.
Passo 5
Base do núcleo:
Um subespaço que contém apenas o vetor nulo tem dimensão 0.
A única base possível para um espaço de dimensão 0 é o conjunto vazio (não se inclui o vetor nulo numa base).
Assim, uma base de \operatorname{Ker}(T) é o conjunto vazio \varnothing e \dim\operatorname{Ker}(T)=0.
Passo 6
Encontrar \operatorname{Im}(T):
A imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A, isto é
Em termos dos vetores da forma T(x,y)=(x,\;x+y,\;y), todo vetor da imagem tem coordenadas (u,v,w) satisfazendo v = u + w. Isso mostra geometricamente que a imagem é um plano em \mathbb{R}^3 dado por \{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3 \mid v = u+w\}.
Passo 7
Verificar que (1,1,0) e (0,1,1) são linearmente independentes (portanto formam uma base da imagem):
Considere a(1,1,0)+b(0,1,1)=(0,0,0). Isso dá o sistema
(a,\; a+b,\; b)=(0,0,0).
Da primeira equação vem a=0. Da terceira vem b=0. Logo a=b=0 é a única solução, provando a independência linear.
Como são dois vetores independentes gerando \operatorname{Im}(T), eles formam uma base.
Portanto uma base para \operatorname{Im}(T) é
\{(1,1,0),\; (0,1,1)\},
e \dim\operatorname{Im}(T)=2.
Passo 8
Verificação do teorema do núcleo e imagem (rank-nullity):
O teorema diz que para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 vale