Considere a transformação Ttheta: R^2 R^2 que roda cada ponto do plano por um ângulo fixo theta em torno da origem no sentido directo.
c) Sem realizar cálculos, indique a matriz que representa (Ttheta)^-1.

Passo 1

O enunciado diz que Ttheta:R^2toR^2 é a rotação de cada ponto do plano em torno da origem por um ângulo theta no sentido direto (anti-horário). Para encontrar a matriz de Ttheta^-1, vamos usar a ideia de que o inverso de uma rotação é a rotação no sentido oposto, sem precisar fazer contas de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas canônicas, a matriz que representa Ttheta é
R(theta)= cos(theta) & -sin(theta)[6pt] sin(theta) & cos(theta) ]

Passo 3

Como R(theta) é uma matriz de rotação ortogonal, seu inverso coincide com sua transposta, mas geometricamente isso equivale a rodar no sentido horário por theta, ou seja, rodar no sentido anti-horário por -theta.

Passo 4

Portanto a matriz de Ttheta^-1 é a rotação de ângulo -theta, isto é
R(-theta)= cos(-theta) & -sin(-theta)[6pt] sin(-theta) & cos(-theta) = cos(theta) & sin(theta)[6pt] -sin(theta) & cos(theta) ]

Resposta

(Ttheta)^-1 sim cos(theta) & sin(theta) -sin(theta) & cos(theta)

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