Seja A in Mn e p(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a0 in K[x], então mostre que A p(A)=p(A) A.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz AinMn(K) e um polinômio
p(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0in K[x]
Queremos mostrar que
A,p(A)=p(A),A
Aqui o conteúdo é avaliação de polinômio em matriz, uso de potências de A e associatividade da multiplicação matricial.

Passo 2

Por definição, avaliamos o polinômio em A escrevendo
p(A)=anA^n+an-1A^n-1+cdots+a1A+a0I,
onde I é a matriz identidade e A^k significa A multiplicada por si mesma k vezes (com A^0=I).

Passo 3

Usando associatividade, para cada termo aiA^i temos
A,(aiA^i)=ai,(A,A^i)=aiA^i+1,
(aiA^i),A= ai,(A^iA)=aiA^i+1
Como isso vale para todo i=0,1,dots,n, ao somar os termos obtemos
A,p(A) =sumi=0^nA,(aiA^i) =sumi=0^naiA^i+1 =sumi=0^n(aiA^i),A =p(A),A

Resposta

A,p(A)=p(A),A

Exercícios relacionados