Seja
e
, então mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
e um polinômio
Queremos mostrar que
Aqui o conteúdo é avaliação de polinômio em matriz, uso de potências de
e associatividade da multiplicação matricial.
Passo 2
Por definição, avaliamos o polinômio em
escrevendo
onde
é a matriz identidade e
significa
multiplicada por si mesma
vezes (com
).
Passo 3
Usando associatividade, para cada termo
temos
Como isso vale para todo
, ao somar os termos obtemos