Considere a transformação Ttheta: R^2 R^2 que roda cada ponto do plano por um ângulo fixo theta em torno da origem no sentido directo.
d) Usando a alínea b) e a correspondência entre composição de transformações lineares e produto de matrizes, represente matricialmente a relação Tphi circ Ttheta= Ttheta+phi. Que fórmulas suas conhecidas ficam assim demonstradas ?

Passo 1

O enunciado pede para usar que, pela alínea b), a matriz de Ttheta é
M(theta)= costheta & -sintheta sintheta & costheta
e mostrar, via produto de matrizes, que
Tphicirc Ttheta=Ttheta+phi

Passo 2

Escrevemos as duas matrizes de rotação:
M(phi)= cosphi & -sinphi sinphi & cosphi , M(theta)= costheta & -sintheta sintheta & costheta

Passo 3

Calculamos o produto
M(phi),M(theta) = cosphi,costheta-sinphi,sintheta & -l(cosphi,sintheta+sinphi,costhetar)[6pt] sinphi,costheta+cosphi,sintheta & cosphi,costheta-sinphi,sintheta
Mas esta é exatamente a forma de
M(theta+phi) = cos(theta+phi)&-sin(theta+phi) sin(theta+phi)&cos(theta+phi) ,
logo M(phi)M(theta)=M(theta+phi), isto é
Tphicirc Ttheta=Ttheta+phi
]

Resposta

As fórmulas de adição de ângulos ficam demonstradas:
cos(theta+phi)=costhetacosphi-sinthetasinphi,
sin(theta+phi)=sinthetacosphi+costhetasinphi

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