1 Seja T: R^3 R^3, uma aplicação linear tal que: T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(-1,1,2) e T(0,0,1)=(2,0,1). Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços: ker(T), Im(T), ker(T) cap Im(T) e ker(T)+Im(T).

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear
;T:R^3toR^3,
cuja ação nos vetores da base canônica e1,e2,e3 é
T(e1) = (1,1,0), T(e2)=(-1,1,2), T(e3)=(2,0,1)
Pede-se uma base para os subespaços ker(T), Im(T), ker(T)capIm(T) e ker(T)+Im(T).
O conteúdo principal envolve representação matricial de T, cálculo de posto e nulidade (teorema do posto-nulidade) e operações com subespaços (interseção e soma).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica. As colunas são as imagens de e1,e2,e3:
A = 1 & -1 & 2 1 & ;1 & 0 0 & ;2 & 1

Passo 3

Calculemos det(A) para verificar se T é invertível:
det(A) =1cdotl(1cdot1-0cdot2r) -(-1)cdotl(1cdot1-0cdot0r) +2cdotl(1cdot2-1cdot0r) =1+1+4=6neq0
Como det(A)neq0, concluímos que rank(A)=3 e, pelo teorema do posto-nulidade,
dim(ker T)=3-3=0, dim(Im T)=3

Passo 4

Da nulidade zero segue que ker(T)=0.
Uma base do subespaço trivial 0 é o conjunto vazio.

Passo 5

Como dim(Im T)=3 em um espaço de dimensão 3, temos Im(T)=R^3.
Uma base natural para Im(T) é o próprio conjunto das colunas de A, isto é
l(1,1,0),,(-1,1,2),,(2,0,1)r

Passo 6

Para a interseção vale
ker(T)capIm(T)=0capR^3=0,
cuja base é novamente o conjunto vazio.

Passo 7

Para a soma vale
ker(T)+Im(T)=0+R^3=R^3,
cuja base pode ser a mesma de Im(T) ou a base canônica.

Resposta

Uma escolha de bases é:
ker(T): base emptyset Im(T): base (1,1,0),,(-1,1,2),,(2,0,1) ker(T)capIm(T): base emptyset ker(T)+Im(T): base (1,1,0),,(-1,1,2),,(2,0,1)

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