4 (2,0 pts.) Dados os pontos A=(1,2,0), B=(1,2,3) e C=(-1,-2,2), determine as coordenadas de um ponto D de modo que os pontos A, B, C e D sejam coplanares, o vetor A D seja ortogonal ao vetor A B e |A D|=5.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço:
A=(1,2,0), B=(1,2,3) e C=(-1,-2,2).
Queremos achar um ponto D tal que
  1. A,B,C,D sejam coplanares;
  2. ADperpAB;
  3. |AD|=5.
    O conteúdo usado será combinação linear de vetores para garantir coplanaridade, produto escalar para ortogonalidade e norma para comprimento.

Passo 2

Calculemos os vetores AB e AC:
AB=B-A=(1-1,;2-2,;3-0)=(0,0,3),
AC=C-A=(-1-1,;-2-2,;2-0)=(-2,-4,2)

Passo 3

Como A,B,C,D são coplanares, AD pode ser escrito como combinação linear de AB e AC. Assim,
AD=alpha,AB+beta,AC =l(-2beta,,-4beta,,3alpha+2betar)

Passo 4

Para ter ADperpAB, basta
ADcdotAB =l(-2beta,-4beta,3alpha+2betar)cdot(0,0,3)=3(3alpha+2beta)=0
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3alpha+2beta=0

Passo 5

Impondo |AD|=5, temos
|AD|^2 =(-2beta)^2+(-4beta)^2+(3alpha+2beta)^2 =4beta^2+16beta^2+0^2 =20beta^2=25
de onde
beta^2=5/4, isto é beta=pmraiz52.
Da relação 3alpha+2beta=0 segue alpha=-tfrac23beta.

Passo 6

Escolhendo beta=+tfracraiz52, fica alpha=-tfracraiz53 e
AD=(-2beta,-4beta,0) =l(-raiz5,,-2raiz5,,0r)
Assim
D=A+AD =l(1,2,0r)+l(-raiz5,-2raiz5,0r) =l(1-raiz5,;2-2raiz5,;0r)

Resposta

As coordenadas de um ponto D que satisfaz todas as condições são
D=l(1-raiz5,;2-2raiz5,;0r)

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