4 (2,0 pts.) Dados os pontos e , determine as coordenadas de um ponto de modo que os pontos e sejam coplanares, o vetor seja ortogonal ao vetor A B e |A D|=5.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço: A=(1,2,0), B=(1,2,3) e C=(-1,-2,2).
Queremos achar um ponto D tal que
A,B,C,D sejam coplanares;
ADperpAB;
|AD|=5.
O conteúdo usado será combinação linear de vetores para garantir coplanaridade, produto escalar para ortogonalidade e norma para comprimento.
Passo 2
Calculemos os vetores AB e AC:
AB=B-A=(1-1,;2-2,;3-0)=(0,0,3),
AC=C-A=(-1-1,;-2-2,;2-0)=(-2,-4,2)
Passo 3
Como A,B,C,D são coplanares, AD pode ser escrito como combinação linear de AB e AC. Assim,