Consideremos a seguinte situação de migração entre Rio e São Paulo da seguinte forma: cada ano, 30 % da população do Rio migra para a região de São Paulo, no entanto 20% da população de São Paulo migra para o Rio. Será que esta migração se estabiliza?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos migração anual entre Rio e São Paulo, onde 30 % da população do Rio vai para São Paulo e 20 % de São Paulo vai para o Rio. Isso configura uma cadeia de Markov de dois estados, e vamos precisar do conceito de matriz de transição e vetor estacionário.

Passo 2

Definimos o vetor de distribuição de populações no ano n como
x^(n) = l(xR^(n),,xP^(n)r),
com xR^(n) + xP^(n) = 1. A matriz de transição P que descreve as migrações é
P = 0,7 & 0,2 [6pt] 0,3 & 0,8
A dinâmica anual é dada por
x^(n+1) = P,x^(n)
No regime estacionário procuramos um vetor x tal que
x = P,x,
com a condição de normalização xR + xP = 1.
]

Passo 3

Da primeira linha de x = P,x temos
xR = 0,7,xR + 0,2,xP
Substituindo xP = 1 - xR resulta em
xR = 0,7,xR + 0,2,(1 - xR) = 0,5,xR + 0,2
o que implica
0,5,xR = 0,2 Longrightarrow xR = 0,4
Logo
xP = 1 - xR = 0,6

Passo 4

Como P é uma matriz estocástica regular, existe um único vetor estacionário e a cadeia converge para ele independentemente da condição inicial. Portanto, a migração se estabiliza nos valores obtidos.

Resposta

Sim. A migração se estabiliza com ,xR=0,4 ( 40% da população no Rio) e ,xP=0,6 ( 60% da população em São Paulo).

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