Consideremos a seguinte situação de migração entre Rio e São Paulo da seguinte forma: cada ano,
da população do Rio migra para a região de São Paulo, no entanto 20% da população de São Paulo migra para o Rio. Será que esta migração se estabiliza?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos migração anual entre Rio e São Paulo, onde
% da população do Rio vai para São Paulo e
% de São Paulo vai para o Rio. Isso configura uma cadeia de Markov de dois estados, e vamos precisar do conceito de matriz de transição e vetor estacionário.
Passo 2
Definimos o vetor de distribuição de populações no ano
como
com
. A matriz de transição
que descreve as migrações é
A dinâmica anual é dada por
No regime estacionário procuramos um vetor
tal que
com a condição de normalização
.
]
]
Passo 3
Da primeira linha de
temos
Substituindo
resulta em
o que implica
Logo
Passo 4
Como
é uma matriz estocástica regular, existe um único vetor estacionário e a cadeia converge para ele independentemente da condição inicial. Portanto, a migração se estabiliza nos valores obtidos.
Resposta
Sim. A migração se estabiliza com
(
da população no Rio) e
(
da população em São Paulo).