Questão 2 - (2,0): Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais
sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A questão pede para encontrar as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ \alpha $, $ \beta $ e $ \mu $.
Estamos trabalhando com funções compostas, onde $ u $ depende de $ x $, $ y $ e $ t
\alpha $, $ \beta $, $ \gamma_7 $, etc.). Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as relações entre as variáveis:
Aqui, $ u $ depende de $ x $, $ y $ e $ t $, e cada uma dessas depende de outras variáveis. Nossa meta é encontrar $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $, $ \frac{\partial u}{\partial \beta} $ e $ \frac{\partial u}{\partial \mu} $.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $. Usando a Regra da Cadeia para derivadas parciais, temos:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos $ \frac{\partial x}{\partial \alpha} $:
Passo 6
Em seguida, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, calculamos $ \frac{\partial y}{\partial \alpha} $:
Porque $ y $ não depende de $ \alpha $.
Passo 8
Em seguida, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial t} $:
Passo 9
Agora, calculamos $ \frac{\partial t}{\partial \alpha} $:
Supondo que $ \alpha_{1} $ não dependa de $ \alpha $, então a derivada é zero.
Passo 10
Agora, juntando tudo para $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $:
Simplificando:
Passo 11
Simplificando ainda mais:
Passo 12
Esse é o resultado para $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $. O mesmo procedimento pode ser aplicado para $ \frac{\partial u}{\partial \beta} $ e $ \frac{\partial u}{\partial \mu} $, seguindo os passos de aplicar a Regra da Cadeia e calcular cada derivada parcial envolvida.
Resposta
A derivada parcial de $ u $ em relação a $ \alpha $ é: