Questão 2 - (2,0): Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais
partial upartial alpha, partial upartial beta, partial upartial mu
sabendo que
u=ln (x) tan (y) e^t raizx y, x=alpha^2 beta, y=beta^2 gamma7 t=gamma^2 alpha1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A questão pede para encontrar as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ \alpha $, $ \beta $ e $ \mu $.
Estamos trabalhando com funções compostas, onde $ u $ depende de $ x $, $ y $ e $ t u áá \alpha $, $ \beta $, $ \gamma_7 $, etc.). Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações entre as variáveis:
u = ln(x) tan(y) e^t raizx y, x = alpha^2 beta, y = beta^2 gamma7, t = gamma^2 alpha1
Aqui, $ u $ depende de $ x $, $ y $ e $ t $, e cada uma dessas depende de outras variáveis. Nossa meta é encontrar $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $, $ \frac{\partial u}{\partial \beta} $ e $ \frac{\partial u}{\partial \mu} $.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $. Usando a Regra da Cadeia para derivadas parciais, temos:
partial upartial alpha
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.

Passo 4

Primeiro, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
partial upartial x
Simplificando:
partial upartial x = 1x tan(y) e^t raizx y + ln(x) tan(y) e^t raizx y cdot t2 cdot yraizx y

Passo 5

Agora, calculamos $ \frac{\partial x}{\partial \alpha} $:
partial xpartial alpha

Passo 6

Em seguida, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
partial upartial y
Simplificando:
partial upartial y = ln(x) cdot sec^2(y) e^t raizx y + ln(x) tan(y) e^t raizx y cdot t raizx2 raizy

Passo 7

Agora, calculamos $ \frac{\partial y}{\partial \alpha} $:
partial ypartial alpha
Porque $ y $ não depende de $ \alpha $.

Passo 8

Em seguida, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial t} $:
partial upartial t

Passo 9

Agora, calculamos $ \frac{\partial t}{\partial \alpha} $:
partial tpartial alpha
Supondo que $ \alpha_{1} $ não dependa de $ \alpha $, então a derivada é zero.

Passo 10

Agora, juntando tudo para $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $:
partial upartial alpha
Simplificando:
partial upartial alpha = ( tan(y) e^t raizx yx + t ln(x) tan(y) raizy2 raizx ) cdot (2 alpha beta) + ( ln(x) sec^2(y) e^t raizx y + t ln(x) tan(y) raizx2 raizy e^t raizx y ) cdot 0 + ( ln(x) tan(y) e^t raizx y cdot raizx y ) cdot 0

Passo 11

Simplificando ainda mais:
partial upartial alpha = 2 alpha beta cdot tan(y) e^t raizx yx + 2 alpha beta cdot t ln(x) tan(y) raizy2 raizx
partial upartial alpha = 2 alpha beta cdot tan(y) e^t raizx yx + alpha beta cdot t ln(x) tan(y) raizyraizx

Passo 12

Esse é o resultado para $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $. O mesmo procedimento pode ser aplicado para $ \frac{\partial u}{\partial \beta} $ e $ \frac{\partial u}{\partial \mu} $, seguindo os passos de aplicar a Regra da Cadeia e calcular cada derivada parcial envolvida.

Resposta

A derivada parcial de $ u $ em relação a $ \alpha $ é:
u

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