Verifique as seguintes propriedades, onde
são vetores, e
são escalares:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Temos os vetores
e queremos verificar a igualdade
- Aqui
é o produto misto (produto triplo escalar), ou seja o escalar . - A tarefa é provar que o lado esquerdo (um escalar) é igual ao quadrado do produto misto definido acima.
Passo 2
Definição e propriedades úteis do produto misto:
- Definição:
Explicando: primeiro calcula-se o produto vetorial(um vetor perpendicular a e ), e depois toma-se o produto escalar desse vetor com , produzindo um número (escalar). - Propriedade ciclíca: uma permutação cíclica não altera o valor:
Justificativa curta: pode ser visto como o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são ; o determinante é invariante por permutações cíclicas das colunas. - Antissimetria em troca de dois vetores: trocar dois vetores muda o sinal do produto misto:
Passo 3
Identidade do produto vetorial triplo (identidade BAC–CAB) — enunciado e interpretação:
- Para vetores arbitrários
vale a identidade Explicando: o produto vetorial é um vetor; quando fazemos o resultado fica no plano gerado por e , e a identidade dá essa combinação linear de e . Cada termo usa um produto escalar ou que é um número.
Passo 4
Aplicar a identidade ao termo
:
- Tome
, , . Então - Observação importante: todo produto vetorial
é ortogonal a , logo Isso elimina o segundo termo da identidade. - Portanto sobra
Passo 5
Reconhecer o produto misto no coeficiente escalar:
- Pelo passo 2,
. - Substituindo na expressão do passo anterior:
Aqui o lado direito é o vetor multiplicado pelo escalar .
Passo 6
Agora calcular o produto escalar com
:
- Faça o produto escalar de ambos os lados com
: - Fatorando o escalar
para fora do produto escalar: - Mas
é exatamente o produto misto . Usando a propriedade cíclica do produto misto (passo 2) obtemos
Passo 7
Concluir a igualdade final:
- Substituindo o resultado do passo 6:
- Portanto a expressão pedida é verdadeira para quaisquer vetores
.