Verifique as seguintes propriedades, onde \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são vetores, e \alpha, \beta, \gamma, \lambda são escalares:
(\vec{u} \times \vec{v}) \times(\vec{v} \times \vec{w}) \cdot(\vec{w} \times \vec{u})=[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Temos os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} e queremos verificar a igualdade
(\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w})\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]^{2}.
  • Aqui [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] é o produto misto (produto triplo escalar), ou seja o escalar (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
  • A tarefa é provar que o lado esquerdo (um escalar) é igual ao quadrado do produto misto definido acima.

Passo 2

Definição e propriedades úteis do produto misto:
  • Definição: [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] := (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
    Explicando: primeiro calcula-se o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} (um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v}), e depois toma-se o produto escalar desse vetor com \vec{w}, produzindo um número (escalar).
  • Propriedade ciclíca: uma permutação cíclica não altera o valor: [\vec{v},\vec{w},\vec{u}] = [\vec{w},\vec{u},\vec{v}] = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}].Justificativa curta: [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] pode ser visto como o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são \vec{u},\vec{v},\vec{w}; o determinante é invariante por permutações cíclicas das colunas.
  • Antissimetria em troca de dois vetores: trocar dois vetores muda o sinal do produto misto: [\vec{v},\vec{u},\vec{w}] = -[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

Passo 3

Identidade do produto vetorial triplo (identidade BAC–CAB) — enunciado e interpretação:
  • Para vetores arbitrários \vec{a},\vec{b},\vec{c} vale a identidade \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{c}\,(\vec{a}\cdot\vec{b}).Explicando: o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c} é um vetor; quando fazemos \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) o resultado fica no plano gerado por \vec{b} e \vec{c}, e a identidade dá essa combinação linear de \vec{b} e \vec{c}. Cada termo usa um produto escalar (\vec{a}\cdot\vec{c}) ou (\vec{a}\cdot\vec{b}) que é um número.

Passo 4

Aplicar a identidade ao termo (\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w}):
  • Tome \vec{a} = \vec{u}\times\vec{v}, \vec{b}=\vec{v}, \vec{c}=\vec{w}. Então (\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w}) = \vec{v}\,((\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}) - \vec{w}\,((\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}).
  • Observação importante: todo produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal a \vec{v}, logo (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = 0.Isso elimina o segundo termo da identidade.
  • Portanto sobra (\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w}) = \vec{v}\,((\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}).

Passo 5

Reconhecer o produto misto no coeficiente escalar:
  • Pelo passo 2, (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}].
  • Substituindo na expressão do passo anterior: (\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w}) = \vec{v}\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].Aqui o lado direito é o vetor \vec{v} multiplicado pelo escalar [\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

Passo 6

Agora calcular o produto escalar com (\vec{w}\times\vec{u}):
  • Faça o produto escalar de ambos os lados com \vec{w}\times\vec{u}: \big((\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w})\big)\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = \big(\vec{v}\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\big)\cdot(\vec{w}\times\vec{u}).
  • Fatorando o escalar [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] para fora do produto escalar: \big((\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w})\big)\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\;\big(\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})\big).
  • Mas \vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) é exatamente o produto misto [\vec{v},\vec{w},\vec{u}]. Usando a propriedade cíclica do produto misto (passo 2) obtemos \vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = [\vec{v},\vec{w},\vec{u}] = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

Passo 7

Concluir a igualdade final:
  • Substituindo o resultado do passo 6: \big((\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w})\big)\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\;[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]^{2}.
  • Portanto a expressão pedida é verdadeira para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Resposta

(\vec{u}\times\vec{v})\times(\vec{v}\times\vec{w})\cdot(\vec{w}\times\vec{u})=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]^{2}

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