Considere as transformações lineares
e
. Mostre que se a composta
é injetiva, então
é injetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares, que são funções que passam de um espaço vetorial pra outro mantendo certas propriedades. Aqui, temos duas transformações:
e
. A gente precisa mostrar que se a composição dessas duas transformações,
, é injetiva (ou seja, cada elemento de
mapeia pra um elemento único em
), então
também tem que ser injetiva. Vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva e como a composição de funções funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetiva. Uma função
é injetiva se, sempre que
, então necessariamente
. Em outras palavras, nenhum dois elementos diferentes de
apontam pro mesmo elemento em
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na composição
. Essa composição significa que a gente primeiro aplica
e depois aplica
no resultado. Matematicamente, para qualquer vetor
, temos:
Passo 4
Sabemos que
é injetiva. Então, se
, isso implica que
.
Passo 5
Vamos assumir que
pra dois vetores
. Nosso objetivo é mostrar que
, provando que
é injetiva.
Passo 6
Se
, então aplicando
nos dois lados, temos:
Ou seja:
Passo 7
Como
é injetiva, a igualdade acima implica que
.
Passo 8
Então, mostramos que se
, necessariamente
. Isso é exatamente a definição de injetividade para
.
Resposta
Portanto, se a composição
é injetiva, então
também é injetiva.