Considere as transformações lineares T1: V W e T2: W U. Mostre que se a composta T2 circ T1 é injetiva, então T1 é injetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares, que são funções que passam de um espaço vetorial pra outro mantendo certas propriedades. Aqui, temos duas transformações: e . A gente precisa mostrar que se a composição dessas duas transformações, , é injetiva (ou seja, cada elemento de mapeia pra um elemento único em ), então também tem que ser injetiva. Vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva e como a composição de funções funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras, nenhum dois elementos diferentes de apontam pro mesmo elemento em .

Passo 3

Agora, vamos pensar na composição (T2 circ T1)(v) = T2(T1(v)) . Essa composição significa que a gente primeiro aplica e depois aplica no resultado. Matematicamente, para qualquer vetor , temos:

Passo 4

Sabemos que é injetiva. Então, se , isso implica que .

Passo 5

Vamos assumir que pra dois vetores . Nosso objetivo é mostrar que , provando que é injetiva.

Passo 6

Se T2(T1(v1)) = T2(T1(v2)) , então aplicando (T2 circ T1)(v1) = (T2 circ T1)(v2) nos dois lados, temos:
Ou seja:

Passo 7

Como é injetiva, a igualdade acima implica que .

Passo 8

Então, mostramos que se , necessariamente . Isso é exatamente a definição de injetividade para .

Resposta

Portanto, se a composição é injetiva, então também é injetiva.

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