Considere a transformada de Laplace de t^p, onde p>-1.
(a) Usando o Problema 26, mostre que
Lt^p & =integral0^infty e^-s t t^p d t=1s^p+1 integral0^infty e^-x x^p d x & =Gamma(p+1) / s^p+1, s>0
(b) Seja p igual a um inteiro positivo n em (a); mostre que
Lt^n=n!/ s^n+1, s>0
(c) Mostre que
Lt^-1 / 2=2raizs integral0^infty e^-x^2 d x, s>0
É possível mostrar que
integral0^infty e^-x^2 d x=raizpi2
portanto,
Lt^-1 / 2=raizpi / s, s>0
(d) Mostre que
Lt^1 / 2=raizpi /(2 s^3 / 2), s>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função t^p (com p>-1) e depois casos particulares: p=ninN, p=-tfrac12 e p=tfrac12. Vamos usar a definição
Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e a representação da função Gama
Gamma(alpha)=integral0^inftye^-xx^alpha-1dx,
além de mudanças de variável adequadas.

Passo 2

Para (a), comece com
Lt^p=integral0^inftye^-stt^pdt
Use a mudança de variável x = s,t, logo t=x/s e dt=dx/s. Isso dá
integral0^inftye^-stt^pdt =integral0^inftye^-xl(xsr)^pdxs =s^-p-1integral0^inftye^-xx^pdx =s^-p-1Gamma(p+1)

Passo 3

Em (b) tomamos p=n inteiro não–negativo. Como Gamma(n+1)=n!, daí
Lt^n =Gamma(n+1)s^n+1 =n!s^n+1

Passo 4

Para (c) com p=-tfrac12, voltamos à definição
Lt^-1/2 =integral0^inftye^-stt^-1/2dt
Faça x=raizs,t, então t=x^2/s e dt=2x,dx/s. Substituindo,
integral0^inftye^-stt^-1/2dt =integral0^inftye^-x^2 l(x^2sr)^-1/22xsdx =2raizsintegral0^inftye^-x^2dx

Passo 5

Sabe–se que
integral0^inftye^-x^2dx=raizpi2
Logo
Lt^-1/2 =2raizscdotraizpi2 =raizpis

Passo 6

Para (d) com p=1/2, usamos diretamente o resultado geral do Passo 2 com p=tfrac12:
Lt^1/2 =Gamma(3/2)s^3/2 e Gammal(tfrac32r)=12raizpi,
portanto
Lt^1/2 =tfrac12raizpis^3/2 =raizpi2,s^3/2

Resposta

(a) Lt^p=Gamma(p+1)/s^p+1.
(b) Lt^n=n!/s^n+1.
(c) Lt^-1/2=raizpi/s.
(d) Lt^1/2=raizpi/(2,s^3/2).

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