Considere a transformada de Laplace de
, onde
.
(a) Usando o Problema 26, mostre que
(b) Seja
igual a um inteiro positivo
em (a); mostre que
(c) Mostre que
É possível mostrar que
portanto,
(d) Mostre que
(a) Usando o Problema 26, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
(com
) e depois casos particulares:
,
e
. Vamos usar a definição
e a representação da função Gama
além de mudanças de variável adequadas.
Passo 2
Para (a), comece com
Use a mudança de variável
, logo
e
. Isso dá
Passo 3
Em (b) tomamos
inteiro não–negativo. Como
, daí
Passo 4
Para (c) com
, voltamos à definição
Faça
, então
e
. Substituindo,
Passo 5
Sabe–se que
Logo
Passo 6
Para (d) com
, usamos diretamente o resultado geral do Passo 2 com
:
portanto
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)