Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
y′=ex−y,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^x - y
e depois verificar a resposta. Isso é um caso típico de equação linear de 1º ordem na forma
y' + y = e^x
Para resolver vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO em sua forma padrão:
y' + 1cdot y = e^x
Aqui o coeficiente de y é 1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x), dado por
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^x. Isso dá
e^x y' + e^x y = e^xcdot e^x = e^2x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^x y, pois
ddxl(e^x yr) = e^x y' + e^x y
Logo
ddxl(e^x yr) = e^2x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y = integral e^2x,dx = 12e^2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = e^-xl(tfrac12 e^2x + Cr) = tfrac12 e^x + C e^-x
Portanto, a solução geral é
y(x) = 12 e^x + C e^-x

Passo 6

Verificação. Calculamos y' a partir da solução:
y' = 12 e^x - C e^-x
Agora avaliamos e^x - y:
e^x - y = e^x - l(tfrac12 e^x + C e^-xr) = 12 e^x - C e^-x,
que coincide com y'. Dessa forma, a solução está correta.

Resposta

y(x) = 12 e^x + C e^-x

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