Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
y′=ex−y,
y′=ex−y,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
e depois verificar a resposta. Isso é um caso típico de equação linear de 1º ordem na forma
Para resolver vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Colocamos a EDO em sua forma padrão:
Aqui o coeficiente de
é
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
, dado por
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
. Isso dá
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Logo
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolamos
:
Portanto, a solução geral é
Passo 6
Verificação. Calculamos
a partir da solução:
Agora avaliamos
:
que coincide com
. Dessa forma, a solução está correta.