Considere a transformada de Laplace de f^prime, onde p>-1.
(a) Usando o Problema 26, mostre que
L|t^p| & =integral0^infty e^-s t p^p d t=1s^p+1 integral0^infty e^-x x^p d x & =Gamma(p+1) / s^p+1, s>0

Passo 1

No enunciado, queremos calcular a transformada de Laplace de t^p para p>-1, usando que integral0^infty x^p e^-xdx=Gamma(p+1).

Passo 2

Por definição, a transformada de Laplace é dada por
Lt^p(s)=integral0^infty e^-st t^p,dt

Passo 3

Fazemos a mudança de variável x=st, de modo que t=x/s e dt=dx/s, e obtemos e^-st=e^-x e t^p=(x/s)^p.

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral0^infty e^-xl(tfracxsr)^p dxs = s^-p-1integral0^infty x^p e^-xdx
Pelo Problema 26, integral0^infty x^p e^-xdx=Gamma(p+1).

Resposta

Gamma(p+1)/s^p+1

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