A equação diferencial q^prime prime+3 q^prime+2 q=0 representa o decaimento da carga num circuito LRC. Sabendo que a carga neste circuito, no instante zero é 5C, e a corrente inicial é nula, determine:
(a) a solução geral da equação diferencial;

Passo 1

O exercício nos dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes que modela o decaimento da carga em um circuito LRC:
q'' + 3q' + 2q = 0
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de ordem 2; vamos usar a técnica de solução exponencial e a equação característica.

Passo 2

Para resolver, fazemos a hipótese de que a solução seja do tipo q(t)=e^rt. Essa escolha transforma derivadas em potências de r, o que facilita a resolução de EDOs lineares homogêneas.

Passo 3

Substituindo q(t)=e^rt na equação e dividindo por e^rt (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0
A ideia é encontrar os valores de r que anulam esse polinômio.

Passo 4

Resolvendo r^2 + 3r + 2 = 0, encontramos raízes distintas:
r1 = -1,
r2 = -2
Para raízes distintas, a solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes.

Resposta

q(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t

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