A equação diferencial
representa o decaimento da carga num circuito LRC. Sabendo que a carga neste circuito, no instante zero é 5C, e a corrente inicial é nula, determine:
(a) a solução geral da equação diferencial;
(a) a solução geral da equação diferencial;
Passo 1
O exercício nos dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes que modela o decaimento da carga em um circuito LRC:
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de ordem 2; vamos usar a técnica de solução exponencial e a equação característica.
Passo 2
Para resolver, fazemos a hipótese de que a solução seja do tipo
. Essa escolha transforma derivadas em potências de
, o que facilita a resolução de EDOs lineares homogêneas.
Passo 3
Substituindo
na equação e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
A ideia é encontrar os valores de
que anulam esse polinômio.
Passo 4
Resolvendo
, encontramos raízes distintas:
Para raízes distintas, a solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes.