Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, se:
(f) f(x, y)=x y-y^2 e R=[0,5] times[0,4]

Passo 1

Nesse exercício a gente vai calcular a integral dupla integral duplaR f(x,y),dx,dy de f(x,y)=xy - y^2 sobre o retângulo R=[0,5]times[0,4]. O conteúdo aqui é integral dupla e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos a integral como uma iterada, integrando primeiro em y e depois em x:
integral duplaR (xy - y^2),dx,dy = integral0^5 l(integral0^4 (xy - y^2),dyr) dx

Passo 3

Agora calculo a integral interna em y:
integral0^4 (xy - y^2),dy = xintegral0^4 y,dy - integral0^4 y^2,dy
Como x é constante nessa integral, ficamos com
x [y^22]0^4 - [y^33]0^4 = xcdot162 - 643 = 8x - 643

Passo 4

Substituindo na integral externa em x:
integral0^5 l(8x - tfrac643r),dx = 8integral0^5 x,dx - 643integral0^51,dx
Isso dá
8[x^22]0^5 - 643[x]0^5 = 8cdot252 - 643cdot5 = 100 - 3203

Passo 5

Simplificando o resultado final:
100 - 3203 = 3003 - 3203 = -203

Resposta

-tfrac203

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