Considere a transformada z
X(z)=2 z^2-z6z^2-z6-16
Calcule a transformada inversa
x[n]=12 pi i oint X(z) z^-1 d z
(analiticamente ou com uso de tabela).

Passo 1

O enunciado pede a inversa da transformada de Z de X(z)=2z^2-tfracz6z^2-tfracz6-tfrac16. Isso cai no conteúdo de inversão de transformada de Z (uso de frações parciais e tabela). Vamos precisar fatorar o denominador, fazer frações parciais e usar a correspondência Z^-1tfraczz-a=a^n u[n].

Passo 2

Primeiro achamos as raízes do denominador. Igualando z^2-tfracz6-tfrac16=0 e multiplicando por 6 vem 6z^2-z-1=0. As raízes são z=tfrac1pm512, ou seja, z=tfrac12 e z=-tfrac13. Essas são as polos.

Passo 3

Para facilitar a fração parcial, introduzimos w=z^-1. Então
X(z)=2z^2-tfracz6z^2-tfracz6-tfrac16=2 - tfracw61 - tfracw6-tfracw^26

Passo 4

Simplificando a fatoração do denominador descobrimos que
1-tfracw6-tfracw^26= -tfrac(w-2)(w+3)6, então
X(z)=w-12(w-2)(w+3)

Passo 5

Fazendo frações parciais:
w-12(w-2)(w+3)=Aw-2+Bw+3, com sistema A+B=1 e 3A-2B=-12. Daí A=-2, B=3.

Passo 6

Voltando a z, temos
X(z)=-2,1z^-1-2+3,1z^-1+3=-2z1-2z+3z1+3z

Passo 7

Reconhecendo pares padrão:
z1-2z=zz-tfrac12rightarrow(tfrac12)^n u[n],
z1+3z=zz+tfrac13rightarrow(-tfrac13)^n u[n]

Passo 8

Somando as duas componentes, a resposta é
x[n]=(tfrac12)^n+(-tfrac13)^npara n>=0, e zero para n<0.

Resposta

x[n]=\bigl(\tfrac12\bigr)n+\bigl(-\tfrac13\bigr)n,\quad n\ge0(zero caso contrário)

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