Considere uma sequência lateral esquerda x[n] com transformada z
X(z)=2 z^2(2 z-1)(z-1)
Determine x[n].

Passo 1

Temos a sequência lateral esquerda x[n] cuja transformada-z é
X(z)=2z^2(2z-1)(z-1)
Estamos em Transformada-Z e vamos precisar usar as propriedades de invertê-la sabendo que para sequência lateral esquerda a ROC fica dentro do pólo de menor módulo, além de empregar série de potências em z para ler os coeficientes.

Passo 2

Identificamos os pólos de X(z): 2z-1=0 → z=1/2 e z-1=0 → z=1. Como é lateral esquerda, a ROC é |z|<1/2 (dentro do pólo de menor módulo). Isso nos diz que vamos expandir em potências de z (positivas).

Passo 3

Fazemos a mudança de variável w=z^{-1} para reescrever X em função de w e facilitar a expansão:
X(z)=2z^2(2z-1)(z-1) =2(2-w)(1-w)
pois ao substituir z=1/w simplifica.

Passo 4

Decompomos em frações parciais em w:
2(2-w)(1-w)=A2-w+B1-w
Resolvendo, acha-se A=-2 e B=2, ou seja:
X(z)=-22-w+21-w =2w-2-2w-1
Reescrevendo em termos de z:
X(z)=2z1-2z-2z1-z .

Passo 5

Expandimos cada termo em série de potências de z, válida para |z|<1/2:
Para 2z/(1-2z):
2z1-2z=2sumn=0^infty(2z)^nz=sumn=1^infty2^nz^n
Para 2z/(1-z):
2z1-z=2sumn=0^inftyz^n+1=sumn=1^infty2z^n
Logo
X(z)=sumn=1^infty(2^n-2)z^n .

Passo 6

Na série X(z)=sum x[n]z^-n=sum x[-k]z^k (com k=−n), o coeficiente de z^k é x[-k]. Aqui aparece z^n só para n≥1, com coeficiente 2^n-2. Então para n≤−1 (isto é, k=−n≥1):
x[n]=2^-n-2
E para n≥0 não há z^-n, logo x[n]=0 para n≥0.

Passo 7

Podemos escrever de forma compacta usando o passo-unitário de sinal trocado:
x[n]=(2^-n-2)u[-n-1]
que vale exatamente x[n]=2^{-n}-2 para n≤−1 e zero caso contrário.

Resposta

x[n]=(2^{-n}-2)u[-n-1]

Exercícios relacionados