Considere uma sequência lateral esquerda
com transformada z
Determine
.
Passo 1
Temos a sequência lateral esquerda x[n] cuja transformada-z é
Estamos em Transformada-Z e vamos precisar usar as propriedades de invertê-la sabendo que para sequência lateral esquerda a ROC fica dentro do pólo de menor módulo, além de empregar série de potências em z para ler os coeficientes.
Passo 2
Identificamos os pólos de X(z): 2z-1=0 → z=1/2 e z-1=0 → z=1. Como é lateral esquerda, a ROC é |z|<1/2 (dentro do pólo de menor módulo). Isso nos diz que vamos expandir em potências de z (positivas).
Passo 3
Fazemos a mudança de variável w=z^{-1} para reescrever X em função de w e facilitar a expansão:
pois ao substituir z=1/w simplifica.
Passo 4
Decompomos em frações parciais em w:
Resolvendo, acha-se A=-2 e B=2, ou seja:
Reescrevendo em termos de z:
Passo 5
Expandimos cada termo em série de potências de z, válida para |z|<1/2:
Para :
Para
Para
:
Logo
Passo 6
Na série
(com k=−n), o coeficiente de
é
. Aqui aparece
só para n≥1, com coeficiente
. Então para n≤−1 (isto é, k=−n≥1):
E para n≥0 não há
, logo x[n]=0 para n≥0.
Passo 7
Podemos escrever de forma compacta usando o passo-unitário de sinal trocado:
que vale exatamente x[n]=2^{-n}-2 para n≤−1 e zero caso contrário.
Resposta
x[n]=(2^{-n}-2)u[-n-1]