Considere um transformador solenoidal de duas bobinas. A área da seção reta do toroide é igual a
, seu raio médio é
e a permeabilidade relativa do núcleo é igual a 1000 . Pede-se: (a) a indutância de cada uma das bobinas; (b) a indutância mútua entre as bobinas. Obs.: indutância mútua não foi assunto visto em aula; este exercício envolve uma pequena pesquisa.
Passo 1
O enunciado pede: (a) a indutância de cada uma das bobinas; (b) a indutância mútua entre as bobinas. Dados fornecidos:
Observação importante: a área está em
(vou converter para
antes de calcular). Não há mais informações ocultas: assumimos que as duas bobinas estão enroladas no mesmo toroide de núcleo magnético homogêneo (acoplamento praticamente total).
Passo 2
Mini-aula — como se obtém a indutância de uma bobina com núcleo magnético:
- Indutância
relaciona fluxo magnético ligados à bobina com a corrente que os provoca. A definição é , onde é o fluxo ligado (fluxo por todas as espiras). - Se cada espira vê o mesmo fluxo magnético
, então o fluxo ligado é . - O fluxo por uma espira é
, onde é a densidade de fluxo magnético no núcleo e a área da seção reta do núcleo. - No núcleo linear,
, com a permeabilidade absoluta, e o campo magnético. Para um enrolamento uniforme em torno de um toroide de comprimento médio , o campo é dado por (Lei de Ampère na forma simples). - Substituindo tudo:
Multiplicando por
para obter
:
Comparando com
segue a fórmula prática da indutância:
onde cada símbolo significa:
Passo 3
Mini-aula — indutância mútua
:
- Indutância mútua entre bobina 1 e bobina 2 mede quanto fluxo criado por uma corrente
em 1 fica ligado em 2. Definição:\ , onde é o fluxo ligado às espiras devido a . - Seguindo o mesmo raciocínio do passo anterior: a corrente
cria um campo , que gera densidade . O fluxo por espira em 2 é . - O fluxo ligado às
espiras é . Comparando com , obtemos a fórmula:
- Observação útil: se todo o fluxo produzido por uma bobina ligar completamente a outra (acoplamento ideal), então vale também
. Para um toroide com ambos os enrolamentos no mesmo núcleo homogêneo, o acoplamento é praticamente ideal, então as duas fórmulas são consistentes.
Passo 4
Converter unidades e calcular parâmetros geométricos:
- Converter a área:
. Logo
- Comprimento médio do caminho magnético (circunferência de raio médio):
- Permeabilidade do vácuo:
- Permeabilidade absoluta do núcleo:
Passo 5
Calcular a indutância da bobina 1 (
) usando
.
- Primeiro calcule
:
-
. Multiplicando por dá . Portanto
- Agora divide por
:
(mais direto: L escala com
; os números fecham exatamente para
.)
Passo 6
Calcular a indutância da bobina 2 (
):
- Usando a mesma fórmula:
- Como
, temos . Assim
(ou calculando diretamente dá o mesmo resultado.)
Passo 7
Calcular a indutância mútua
com a fórmula do passo 3:
- Calcule numericamente:
. Multiplicando por dá . Então
- Dividindo por
obtemos
- Verificação rápida:
e . Como esperado, (acoplamento quase perfeito).
Passo 8
Resumo final e comentário prático:
- Resultado numérico direto para uso na prova:
. - Observação didática: se na prática houver vazamento de fluxo (não todo o fluxo de uma bobina liga a outra), então o acoplamento
seria menor que 1 e . Para um toroide com ambos enrolamentos no mesmo núcleo homogêneo, a aproximação é bastante razoável.
Resposta
(a)
(b)
(b)