Considere um transformador solenoidal de duas bobinas. A área da seção reta do toroide é igual a 100\left[\mathrm{~cm}^{2}\right], seu raio médio é 0,2[\mathrm{~m}], \mathrm{N}_{1}=500, \mathrm{~N}_{2}=800 e a permeabilidade relativa do núcleo é igual a 1000 . Pede-se: (a) a indutância de cada uma das bobinas; (b) a indutância mútua entre as bobinas. Obs.: indutância mútua não foi assunto visto em aula; este exercício envolve uma pequena pesquisa.

Passo 1

O enunciado pede: (a) a indutância de cada uma das bobinas; (b) a indutância mútua entre as bobinas. Dados fornecidos:
A=100\\ \mathrm{cm}^2,\quad r_{\text{médio}}=0,2\\ \mathrm{m},\quad N_1=500,\quad N_2=800,\quad \mu_r=1000.é
Observação importante: a área está em \mathrm{cm}^2 (vou converter para \mathrm{m}^2 antes de calcular). Não há mais informações ocultas: assumimos que as duas bobinas estão enroladas no mesmo toroide de núcleo magnético homogêneo (acoplamento praticamente total).

Passo 2

Mini-aula — como se obtém a indutância de uma bobina com núcleo magnético:
  • Indutância L relaciona fluxo magnético ligados à bobina com a corrente que os provoca. A definição é \Lambda = L I, onde \Lambda é o fluxo ligado (fluxo por todas as espiras).
  • Se cada espira vê o mesmo fluxo magnético \Phi, então o fluxo ligado é \Lambda = N\Phi.
  • O fluxo por uma espira é \Phi = BA, onde B é a densidade de fluxo magnético no núcleo e A a área da seção reta do núcleo.
  • No núcleo linear, B=\mu H, com \mu=\mu_0\mu_r a permeabilidade absoluta, e H o campo magnético. Para um enrolamento uniforme em torno de um toroide de comprimento médio l, o campo H é dado por \displaystyle H=\frac{N I}{l} (Lei de Ampère na forma simples).
  • Substituindo tudo:
\Phi = BA = \mu H A = \mu\frac{N I}{l}A.
Multiplicando por N para obter \Lambda:
\Lambda = N\Phi = \mu\frac{N^2 A}{l}I.
Comparando com \Lambda = L I segue a fórmula prática da indutância:
\boxed{L=\mu\frac{N^2 A}{l}}
onde cada símbolo significa:
\mu=\mu_0\mu_r,\quad N=\text{nº de espiras},\quad A=\text{área da seção (m}^2\text{)},\quad l=\text{comprimento médio do caminho magnético (m)}.ºáçãéé

Passo 3

Mini-aula — indutância mútua M:
  • Indutância mútua entre bobina 1 e bobina 2 mede quanto fluxo criado por uma corrente I_1 em 1 fica ligado em 2. Definição:\ \Lambda_{2}=M I_1, onde \Lambda_{2} é o fluxo ligado às N_2 espiras devido a I_1.
  • Seguindo o mesmo raciocínio do passo anterior: a corrente I_1 cria um campo H_1=\dfrac{N_1 I_1}{l}, que gera densidade B_1=\mu H_1. O fluxo por espira em 2 é \Phi_{21}=B_1 A=\mu\dfrac{N_1 I_1}{l}A.
  • O fluxo ligado às N_2 espiras é \Lambda_{2}=N_2\Phi_{21}= \mu\dfrac{N_1 N_2 A}{l}I_1. Comparando com \Lambda_2=M I_1, obtemos a fórmula:
\boxed{M=\mu\frac{N_1 N_2 A}{l}}
  • Observação útil: se todo o fluxo produzido por uma bobina ligar completamente a outra (acoplamento ideal), então vale também M^2=L_1L_2. Para um toroide com ambos os enrolamentos no mesmo núcleo homogêneo, o acoplamento é praticamente ideal, então as duas fórmulas são consistentes.

Passo 4

Converter unidades e calcular parâmetros geométricos:
  • Converter a área: 1\\ \mathrm{cm}^2=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2. Logo
A=100\\ \mathrm{cm}^2=100\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2=0,01\\ \mathrm{m}^2.
  • Comprimento médio do caminho magnético (circunferência de raio médio):
l=2\pi r_{\text{médio}}=2\pi(0,2)=0,4\pi\\ \mathrm{m}\approx 1,25663706\\ \mathrm{m}.é
  • Permeabilidade do vácuo:
\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Permeabilidade absoluta do núcleo:
\mu=\mu_0\mu_r=(4\pi\times 10^{-7})(1000)=4\pi\times 10^{-4}\\ \mathrm{H/m}\approx 0,00125663706\\ \mathrm{H/m}.

Passo 5

Calcular a indutância da bobina 1 ( N_1=500) usando \displaystyle L=\mu\frac{N^2 A}{l}.
  • Primeiro calcule \mu N_1^2 A:
\mu N_1^2 A=(4\pi\times 10^{-4})\times(500)^2\times 0,01.
  • (500)^2=250\,000. Multiplicando por 0,01 2\,500. Portanto
\mu N_1^2 A=(4\pi\times 10^{-4})\times 2\,500=4\pi\times 10^{-4}\times 2\,500= (4\pi)\times 0,25\times 10^{-0}= \; \text{(fazendo a conta)}\; \approx 3,14159265.
  • Agora divide por l=0,4\pi:
L_1=\frac{\mu N_1^2 A}{l}=\frac{3,14159265}{0,4\pi}=\frac{3,14159265}{1,25663706}=2,5\\ \mathrm{H}.
(mais direto: L escala com N^2; os números fecham exatamente para 2,5\\ \mathrm{H}.)

Passo 6

Calcular a indutância da bobina 2 ( N_2=800):
  • Usando a mesma fórmula:
L_2=\mu\frac{N_2^2 A}{l}.
  • Como N_2/N_1=800/500=1,6, temos L_2=L_1(1,6)^2=L_1\times 2,56. Assim
L_2=2,5\times 2,56=6,4\\ \mathrm{H}.
(ou calculando diretamente dá o mesmo resultado.)

Passo 7

Calcular a indutância mútua M com a fórmula do passo 3:
M=\mu\frac{N_1 N_2 A}{l}.
  • Calcule numericamente: N_1N_2=500\times 800=400\,000. Multiplicando por A=0,01 4\,000. Então
\mu N_1N_2 A=(4\pi\times 10^{-4})\times 4\,000\approx 5,02654825.
  • Dividindo por l=0,4\pi obtemos
M=\frac{5,02654825}{1,25663706}=4,0\\ \mathrm{H}.
  • Verificação rápida: M^2=4,0^2=16 e L_1L_2=2,5\times 6,4=16. Como esperado, M^2=L_1L_2 (acoplamento quase perfeito).

Passo 8

Resumo final e comentário prático:
  • Resultado numérico direto para uso na prova: L_1=2,5\\ \mathrm{H},\\ L_2=6,4\\ \mathrm{H},\\ M=4,0\\ \mathrm{H}.
  • Observação didática: se na prática houver vazamento de fluxo (não todo o fluxo de uma bobina liga a outra), então o acoplamento k seria menor que 1 e M=k\sqrt{L_1L_2}<\sqrt{L_1L_2}. Para um toroide com ambos enrolamentos no mesmo núcleo homogêneo, a aproximação k\approx 1 é bastante razoável.

Resposta

(a) \;L_1=2,5\\ \mathrm{H},\; L_2=6,4\\ \mathrm{H}.
(b) \;M=4,0\\ \mathrm{H}.

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