Um solenoide toroidal tem núcleo de material ferromagnético com permeabilidade relativa igual a 100 . Sua seção reta é igual a 10,0\left[\mathrm{~cm}^{2}\right] e seu raio médio é igual a 0,1[\mathrm{~m}]. Qual deve ser o número de espiras para que a indutância do toroide seja igual a 4,5[\mathrm{mH}] ?

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado e o que é pedido:
  • Permeabilidade relativa do núcleo: \mu_r = 100.
  • Seção reta do toroide: A = 10{,}0\,[\mathrm{cm}^2].
  • Raio médio do toroide: R = 0{,}1\,[\mathrm{m}].
  • Indutância desejada: L = 4{,}5\,[\mathrm{mH}].
O que precisamos achar: o número de espiras N tal que a indutância do toroide seja L=4{,}5\,[\mathrm{mH}].

Passo 2

Escolha do método (explicando rapidamente por que esse caminho): o enunciado não exige um método específico. Para um toroide com núcleo magnético uniforme, existe uma fórmula direta que relaciona L, N, a permeabilidade do material, a área da seção e o raio médio. Vou usar essa fórmula porque ela é simples, direta e apropriada para calcular N sem complicações extras — ideal para fazer rápido na prova.

Passo 3

Apresentação e derivação da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
Definições e leis utilizadas:
  • Indutância é definida pela relação entre o fluxo magnético ligado às espiras e a corrente:
L=\frac{N\Phi}{I},
onde \Phi é o fluxo magnético que atravessa uma espira e I é a corrente que percorre as espiras.
  • Pelo teorema de Ampère aplicado ao toroide (campo magnético aproximadamente tangente e uniforme ao longo da circunferência média), temos:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}= \mu_0\mu_r I_{\text{enc}}.
Para um toroide com N espiras e corrente I, a corrente “encerrada” é N I. O comprimento do caminho fechado é 2\pi R. Assim o módulo do campo magnético no núcleo é
B=\frac{\mu_0\mu_r N I}{2\pi R}.
  • O fluxo magnético por espira é o produto do campo pela área da seção (assumindo campo aproximadamente uniforme na seção):
\Phi = B A = \frac{\mu_0\mu_r N I}{2\pi R}\,A.
  • Substituindo \Phi na definição de L:
L=\frac{N\Phi}{I}=\frac{N}{I}\cdot\frac{\mu_0\mu_r N I}{2\pi R}\,A.
Cancelando I e reunindo termos:
L=\frac{\mu_0\mu_r N^2 A}{2\pi R}.
Esta é a fórmula que relaciona L e N para um toroide de raio médio R e área de seção A. Aqui:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,[\mathrm{H/m}]),
  • \mu_r é a permeabilidade relativa do núcleo,
  • A é a área da seção em [\mathrm{m}^2],
  • R é o raio médio em [\mathrm{m}],
  • N é o número de espiras (o que queremos).

Passo 4

Isolando N na fórmula para poder calcular diretamente:
L=\frac{\mu_0\mu_r N^2 A}{2\pi R}\quad\Longrightarrow\quad N^2=\frac{L\,2\pi R}{\mu_0\mu_r A}\quad\Longrightarrow\quad N=\sqrt{\frac{L\,2\pi R}{\mu_0\mu_r A}}.
Esta expressão diz exatamente quantas espiras são necessárias para obter a indutância L.

Passo 5

Converter todas as grandezas para unidades SI antes de calcular:
  • Indutância: L=4{,}5\,[\mathrm{mH}]=4{,}5\times10^{-3}\,[\mathrm{H}].
  • Área: A=10{,}0\,[\mathrm{cm}^2]. Como 1\,[\mathrm{cm}^2]=10^{-4}\,[\mathrm{m}^2], segue
A=10{,}0\times10^{-4}\,[\mathrm{m}^2]=1{,}0\times10^{-3}\,[\mathrm{m}^2].
  • Raio médio: R=0{,}1\,[\mathrm{m}] (já em SI).
  • Permeabilidade do vácuo: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,[\mathrm{H/m}].
  • Permeabilidade do núcleo: \mu=\mu_0\mu_r = (4\pi\times10^{-7})\times100 = 4\pi\times10^{-5}\,[\mathrm{H/m}].

Passo 6

Substituir os valores na expressão de N:
N=\sqrt{\frac{L\,2\pi R}{\mu_0\mu_r A}}.
Agora escrevendo os números (mantendo notação científica):
N=\sqrt{\frac{(4{,}5\times10^{-3})\cdot 2\pi\cdot(0{,}1)} {(4\pi\times10^{-7})\cdot 100 \cdot (1{,}0\times10^{-3})}}.

Passo 7

Fazer as simplificações numéricas passo a passo:
Calcular o numerador:
L\cdot 2\pi R = 4{,}5\times10^{-3}\cdot 2\pi\cdot 0{,}1 =4{,}5\times10^{-3}\cdot 0{,}2\pi =9{,}0\times10^{-4}\pi.
Em valor decimal aproximado:
9{,}0\times10^{-4}\pi \approx 9{,}0\times10^{-4}\times 3{,}14159 \approx 2{,}8274\times10^{-3}.
Calcular o denominador:
\mu_0\mu_r A = (4\pi\times10^{-7})\times 100 \times 1{,}0\times10^{-3} =4\pi\times10^{-8}.
Em valor decimal aproximado:
4\pi\times10^{-8}\approx 4\times3{,}14159\times10^{-8}\approx 1{,}25664\times10^{-7}.

Passo 8

Dividir numerador pelo denominador:
\frac{2{,}8274\times10^{-3}}{1{,}25664\times10^{-7}} \approx 2{,}25\times10^{4}=22500.
(Esse número é exatamente 22500 se mantivermos as expressões em termos de \pi e os fatores que se cancelam — o cálculo numérico acima confirma.)
Agora a raiz quadrada:
N=\sqrt{22500}=150.

Passo 9

Interpretação e observações rápidas: o resultado N=150 significa que, com núcleo de permeabilidade relativa 100, área de seção 10\,[\mathrm{cm}^2] e raio médio 0{,}1\,[\mathrm{m}], precisamos de 150 espiras para obter 4{,}5\,[\mathrm{mH}]. Esse valor é um inteiro belo (150), então faz sentido usar exatamente esse número de voltas na prática.

Resposta

150 espiras

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