Um solenoide toroidal tem núcleo de material ferromagnético com permeabilidade relativa igual a 100 . Sua seção reta é igual a
e seu raio médio é igual a
. Qual deve ser o número de espiras para que a indutância do toroide seja igual a
?
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado e o que é pedido:
- Permeabilidade relativa do núcleo:
. - Seção reta do toroide:
. - Raio médio do toroide:
. - Indutância desejada:
.
O que precisamos achar: o número de espiras
tal que a indutância do toroide seja
.
Passo 2
Escolha do método (explicando rapidamente por que esse caminho): o enunciado não exige um método específico. Para um toroide com núcleo magnético uniforme, existe uma fórmula direta que relaciona
,
, a permeabilidade do material, a área da seção e o raio médio. Vou usar essa fórmula porque ela é simples, direta e apropriada para calcular
sem complicações extras — ideal para fazer rápido na prova.
Passo 3
Apresentação e derivação da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
Definições e leis utilizadas:
- Indutância é definida pela relação entre o fluxo magnético ligado às espiras e a corrente:
onde
é o fluxo magnético que atravessa uma espira e
é a corrente que percorre as espiras.
- Pelo teorema de Ampère aplicado ao toroide (campo magnético aproximadamente tangente e uniforme ao longo da circunferência média), temos:
Para um toroide com
espiras e corrente
, a corrente “encerrada” é
. O comprimento do caminho fechado é
. Assim o módulo do campo magnético no núcleo é
- O fluxo magnético por espira é o produto do campo pela área da seção (assumindo campo aproximadamente uniforme na seção):
- Substituindo
na definição de :
Cancelando
e reunindo termos:
Esta é a fórmula que relaciona
e
para um toroide de raio médio
e área de seção
. Aqui:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é a permeabilidade relativa do núcleo, -
é a área da seção em , -
é o raio médio em , -
é o número de espiras (o que queremos).
Passo 4
Isolando
na fórmula para poder calcular diretamente:
Esta expressão diz exatamente quantas espiras são necessárias para obter a indutância
.
Passo 5
Converter todas as grandezas para unidades SI antes de calcular:
- Indutância:
. - Área:
. Como , segue
- Raio médio:
(já em SI). - Permeabilidade do vácuo:
. - Permeabilidade do núcleo:
.
Passo 6
Substituir os valores na expressão de
:
Agora escrevendo os números (mantendo notação científica):
Passo 7
Fazer as simplificações numéricas passo a passo:
Calcular o numerador:
Em valor decimal aproximado:
Calcular o denominador:
Em valor decimal aproximado:
Passo 8
Dividir numerador pelo denominador:
(Esse número é exatamente
se mantivermos as expressões em termos de
e os fatores que se cancelam — o cálculo numérico acima confirma.)
Agora a raiz quadrada:
Passo 9
Interpretação e observações rápidas: o resultado
significa que, com núcleo de permeabilidade relativa
, área de seção
e raio médio
, precisamos de
espiras para obter
. Esse valor é um inteiro belo (150), então faz sentido usar exatamente esse número de voltas na prática.
Resposta
150 espiras