Uma bobina circular com 500 espiras e 4,0[\mathrm{~cm}] de raio gira com velocidade angular constante em torno de um eixo perpendicular ao campo magnético da Terra, que pode ser aproximado como 5,0 \times 10^{-5}[\mathrm{~T}]. Que velocidade angular deve ter a bobina para que a fem induzida nela tenha um valor máximo de 1,0 [mV]?

Passo 1

Vou explicar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, para a gente organizar o plano.
  • Dados fornecidos:
    • número de espiras: N = 500.
    • raio da bobina: r = 4{,}0\,[\mathrm{cm}] = 0{,}04\,[\mathrm{m}]. (conversão necessária para o SI)
    • campo magnético da Terra: B = 5{,}0\times 10^{-5}\,[\mathrm{T}].
    • fem máxima desejada: \varepsilon_{\text{max}} = 1{,}0\,[\mathrm{mV}] = 1{,}0\times 10^{-3}\,[\mathrm{V}].
  • O que o enunciado pede:
    • A velocidade angular \omega que a bobina deve ter para que a fem induzida atinja o valor máximo pedido.

Passo 2

Conceito-chave — Faraday e como a fem aparece numa bobina girando.
  • A lei de Faraday diz que a fem induzida numa bobina com N espiras é dada por \varepsilon(t) = -\dfrac{d\Phi(t)}{dt}, onde \Phi(t) é o fluxo magnético total através da bobina.
  • Para uma única espira plana de área A imersa em campo B, o fluxo é \Phi_{\text{espira}}(t) = B A \cos\theta(t), onde \theta(t) é o ângulo entre a normal ao plano da espira e o campo B.
  • Se a bobina gira com velocidade angular constante \omega e o eixo de rotação é tal que \theta(t)=\omega t, então o fluxo total nas N espiras é
\Phi(t) = N B A \cos(\omega t).

Passo 3

Derivando a fem a partir do fluxo e identificando o valor máximo.
  • Aplicando Faraday:
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}\bigl(N B A \cos(\omega t)\bigr).
  • Derivando a coseno:
\varepsilon(t) = -N B A \bigl(-\omega \sin(\omega t)\bigr) = N B A \,\omega \sin(\omega t).
  • A amplitude (valor máximo absoluto) da fem é o coeficiente multiplicando o seno:
\varepsilon_{\text{max}} = N B A \,\omega.
  • Portanto, para obter \varepsilon_{\text{max}} conhecida, isolamos \omega:
\omega = \frac{\varepsilon_{\text{max}}}{N B A}.
Aqui expliquei o porquê dessa fórmula: o campo e a área determinam quanto fluxo existe; a rotação faz o fluxo variar no tempo; a taxa dessa variação (proporcional a \omega) determina a fem máxima.

Passo 4

Calcular a área da bobina — passo numérico básico, sem pular nada.
  • A área de uma espira circular é
A = \pi r^{2}.
  • Substituindo r = 0{,}04\,[\mathrm{m}]:
A = \pi (0{,}04)^{2} = \pi \times 0{,}0016 = 0{,}0016\pi\;[\mathrm{m}^{2}].
  • Se quiser um valor numérico aproximado:
A \approx 0{,}0016\times 3{,}14159 = 0{,}00502655\;[\mathrm{m}^{2}].

Passo 5

Calcular o produto N B A que aparece no denominador de \omega.
  • Usando N=500, B=5{,}0\times 10^{-5}\,[\mathrm{T}] e A\approx 0{,}00502655\,[\mathrm{m}^{2}],
N B A = 500 \times 5{,}0\times 10^{-5} \times 0{,}00502655.
  • Calcule passo a passo:
    • 500\times 5{,}0\times 10^{-5} = 500\times 0{,}00005 = 0{,}025.
    • Então N B A = 0{,}025 \times 0{,}00502655 = 0{,}00012566375\;[\mathrm{V\,s/rad}] (unidade compatível no cálculo).
  • Podemos arredondar para N B A \approx 1{,}25664\times 10^{-4}.

Passo 6

Calcular \omega usando a fórmula isolada.
  • Relembrando:
\omega = \frac{\varepsilon_{\text{max}}}{N B A}.
  • Substituindo \varepsilon_{\text{max}} = 1{,}0\times 10^{-3}\,[\mathrm{V}] e N B A \approx 1{,}25664\times 10^{-4}:
\omega \approx \frac{1{,}0\times 10^{-3}}{1{,}25664\times 10^{-4}}.
  • Fazendo a divisão:
\omega \approx 7{,}9577\;[\mathrm{rad/s}].
  • Arredondando razoavelmente para duas casas significativas (os dados têm duas cifras em alguns números), fica
\omega \approx 7{,}96\;[\mathrm{rad/s}].

Passo 7

Interpretação prática (um empurrão motivador).
  • Esse valor de \omega significa que a bobina deve girar a cerca de 7{,}96 rad/s.
  • Se você quiser converter para rotações por segundo: f=\dfrac{\omega}{2\pi}\approx 1{,}27\,[\mathrm{Hz}], ou cerca de 76 rotações por minuto. Não era pedido, mas ajuda a ter noção física.

Resposta

\omega \approx 7{,}96\;[\mathrm{rad/s}]

Exercícios relacionados