Uma bobina circular com 500 espiras e
de raio gira com velocidade angular constante em torno de um eixo perpendicular ao campo magnético da Terra, que pode ser aproximado como
. Que velocidade angular deve ter a bobina para que a fem induzida nela tenha um valor máximo de 1,0 [mV]?
Passo 1
Vou explicar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, para a gente organizar o plano.
-
Dados fornecidos:
- número de espiras:
. - raio da bobina:
. (conversão necessária para o SI) - campo magnético da Terra:
. - fem máxima desejada:
.
- número de espiras:
-
O que o enunciado pede:
- A velocidade angular
que a bobina deve ter para que a fem induzida atinja o valor máximo pedido.
- A velocidade angular
Passo 2
Conceito-chave — Faraday e como a fem aparece numa bobina girando.
- A lei de Faraday diz que a fem induzida numa bobina com
espiras é dada por , onde é o fluxo magnético total através da bobina. - Para uma única espira plana de área
imersa em campo , o fluxo é , onde é o ângulo entre a normal ao plano da espira e o campo . - Se a bobina gira com velocidade angular constante
e o eixo de rotação é tal que , então o fluxo total nas espiras é
Passo 3
Derivando a fem a partir do fluxo e identificando o valor máximo.
- Aplicando Faraday:
- Derivando a coseno:
- A amplitude (valor máximo absoluto) da fem é o coeficiente multiplicando o seno:
- Portanto, para obter
conhecida, isolamos :
Aqui expliquei o porquê dessa fórmula: o campo e a área determinam quanto fluxo existe; a rotação faz o fluxo variar no tempo; a taxa dessa variação (proporcional a
) determina a fem máxima.
Passo 4
Calcular a área da bobina — passo numérico básico, sem pular nada.
- A área de uma espira circular é
- Substituindo
:
- Se quiser um valor numérico aproximado:
Passo 5
Calcular o produto
que aparece no denominador de
.
- Usando
, e ,
- Calcule passo a passo:
-
- Então
(unidade compatível no cálculo).
-
- Podemos arredondar para
.
Passo 6
Calcular
usando a fórmula isolada.
- Relembrando:
- Substituindo
e :
- Fazendo a divisão:
- Arredondando razoavelmente para duas casas significativas (os dados têm duas cifras em alguns números), fica
Passo 7
Interpretação prática (um empurrão motivador).
- Esse valor de
significa que a bobina deve girar a cerca de rad/s. - Se você quiser converter para rotações por segundo:
, ou cerca de rotações por minuto. Não era pedido, mas ajuda a ter noção física.