Considere três bolinhas de massas m_{l}=1 \mathrm{~kg}, m_{2}=2 \mathrm{~kg} e m_{3}=3 \mathrm{~kg} cujas posições em função do tempo são dadas por r_{1}(t)=\left(t^{2},-t^{3}+t^{2}\right), r_{2}(t)=\left(2 t, t^{2}\right) e r_{3}(t)=\left(3 t^{2}, 2 t^{2}\right).
a) Calcule a velocidade e a aceleração de cada bolinha.
b) Calcule a quantidade de movimento de cada bolinha
c) Calcule a soma das forças sobre cada bolinha.
d) Calcule R, V e A (a posição, a velocidade e a aceleração do centro de massa do sistema de três bolinhas). pendurado por dois fios longos.
e) Calcule a quantidade de movimento do sistema e a soma das forças sobre o sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá três partículas de massas m_{1}=1\,\mathrm{kg}, m_{2}=2\,\mathrm{kg} e m_{3}=3\,\mathrm{kg} cujas posições no plano são
r_{1}(t) = \bigl(t^{2},\, -t^{3}+t^{2}\bigr),\quad r_{2}(t) = \bigl(2t,\, t^{2}\bigr),\quad r_{3}(t) = \bigl(3t^{2},\,2t^{2}\bigr).
Precisamos usar derivação de vetores para achar velocidades e acelerações, a definição de quantidade de movimento \displaystyle p_i = m_i v_i, a segunda lei de Newton \displaystyle F_i = m_i a_i e as fórmulas do centro de massa
R = \frac{1}{M}\sum_{i} m_i r_i,\quad V = \dot R,\quad A = \dot V,
além de relacionar a quantidade de movimento total e a força resultante do sistema.

Passo 2

Derivamos cada r_i(t) para obter velocidade v_i(t)=\dot r_i(t) e aceleração a_i(t)=\ddot r_i(t).
Para r_{1}(t)=\bigl(t^{2},-t^{3}+t^{2}\bigr):
v_{1}(t) = \bigl(2t,\,-3t^{2}+2t\bigr),
a_{1}(t) = \bigl(2,\,-6t+2\bigr).
Para r_{2}(t)=\bigl(2t,t^{2}\bigr):
v_{2}(t) = \bigl(2,\,2t\bigr),
a_{2}(t) = \bigl(0,\,2\bigr).
Para r_{3}(t)=\bigl(3t^{2},2t^{2}\bigr):
v_{3}(t) = \bigl(6t,\,4t\bigr),
a_{3}(t) = \bigl(6,\,4\bigr).

Passo 3

A quantidade de movimento de cada partícula é \displaystyle p_i = m_i\,v_i:
p_{1}(t) = 1\cdot v_{1}(t) = \bigl(2t,\,-3t^{2}+2t\bigr),
p_{2}(t) = 2\cdot v_{2}(t) = \bigl(4,\,4t\bigr),
p_{3}(t) = 3\cdot v_{3}(t) = \bigl(18t,\,12t\bigr).

Passo 4

Pela segunda lei de Newton, a força resultante em cada partícula é \displaystyle F_i = m_i\,a_i:
F_{1}(t) = 1\cdot a_{1}(t) = \bigl(2,\,-6t+2\bigr),
F_{2}(t) = 2\cdot a_{2}(t) = \bigl(0,\,4\bigr),
F_{3}(t) = 3\cdot a_{3}(t) = \bigl(18,\,12\bigr).

Passo 5

O centro de massa, com M = m_{1}+m_{2}+m_{3}=6, é
R(t) = \frac{1}{6}\bigl[m_{1}r_{1}(t)+m_{2}r_{2}(t)+m_{3}r_{3}(t)\bigr] = \Bigl(\frac{10t^{2}+4t}{6},\,\frac{-t^{3}+9t^{2}}{6}\Bigr).
Derivando, a velocidade do CM é
V(t) = \dot R(t) = \Bigl(\frac{20t+4}{6},\,\frac{-3t^{2}+18t}{6}\Bigr) = \Bigl(\frac{10t+2}{3},\,\frac{-t^{2}+6t}{2}\Bigr).
E a aceleração do CM é
A(t) = \dot V(t) = \Bigl(\frac{10}{3},\,-t+3\Bigr).

Passo 6

A quantidade de movimento total do sistema é
P_{\rm tot}(t) = p_{1}(t)+p_{2}(t)+p_{3}(t) = \bigl(20t+4,\,-3t^{2}+18t\bigr).
A soma das forças externas (ou resultantes internas) é
F_{\rm tot}(t) = F_{1}(t)+F_{2}(t)+F_{3}(t) = \bigl(20,\,-6t+18\bigr).
Verifica-se que \displaystyle F_{\rm tot} = \dot P_{\rm tot}, consistente com M\,A(t).

Resposta

a)
v_{1}(t)=\bigl(2t,\,-3t^{2}+2t\bigr),\quad a_{1}(t)=\bigl(2,\,-6t+2\bigr),
v_{2}(t)=\bigl(2,\,2t\bigr),\quad a_{2}(t)=\bigl(0,\,2\bigr),
v_{3}(t)=\bigl(6t,\,4t\bigr),\quad a_{3}(t)=\bigl(6,\,4\bigr).
b)
p_{1}(t)=\bigl(2t,\,-3t^{2}+2t\bigr),\quad p_{2}(t)=\bigl(4,\,4t\bigr),\quad p_{3}(t)=\bigl(18t,\,12t\bigr).
c)
F_{1}(t)=\bigl(2,\,-6t+2\bigr),\quad F_{2}(t)=\bigl(0,\,4\bigr),\quad F_{3}(t)=\bigl(18,\,12\bigr).
d)
R(t)=\Bigl(\frac{10t^{2}+4t}{6},\,\frac{-t^{3}+9t^{2}}{6}\Bigr),\quad V(t)=\Bigl(\frac{10t+2}{3},\,\frac{-t^{2}+6t}{2}\Bigr),\quad A(t)=\Bigl(\frac{10}{3},\,-t+3\Bigr).
e)
P_{\rm tot}(t)=\bigl(20t+4,\,-3t^{2}+18t\bigr),\quad F_{\rm tot}(t)=\bigl(20,\,-6t+18\bigr).

Exercícios relacionados