Considere três bolinhas de massas m_{l}=1 \mathrm{~kg}, m_{2}=2 \mathrm{~kg} e m_{3}=3 \mathrm{~kg} cujas posições em função do tempo são dadas por \boldsymbol{r}_{1}(t)=\left(t^{2},-t^{3}+t^{2}\right), \boldsymbol{r}_{2}(t)=\left(2 t, t^{2}\right) e \boldsymbol{r}_{3}(t)=\left(3 t^{2}, 2 t^{2}\right).
a) Calcule a velocidade e a aceleração de cada bolinha.
b) Calcule a quantidade de movimento de cada bolinha
c) Calcule a soma das forças sobre cada bolinha.
d) Calcule \boldsymbol{R}, \boldsymbol{V} e \boldsymbol{A} (a posição, a velocidade e a aceleração do centro de massa do sistema de três bolinhas).
e) Calcule a quantidade de movimento do sistema e a soma das forças sobre o sistema.

Passo 1

O enunciado trata de três partículas de massas m_1=1, m_2=2 e m_3=3 cujas trajetórias estão dadas por \boldsymbol r_i(t). Vamos usar:
  1. Derivadas de \boldsymbol r_i(t) para achar velocidade \boldsymbol v_i(t) e aceleração \boldsymbol a_i(t).
  2. \boldsymbol p_i=m_i\boldsymbol v_i para a quantidade de movimento.
  3. \boldsymbol F_i=m_i\boldsymbol a_i para a força resultante em cada partícula.
  4. Centro de massa
\boldsymbol R=\frac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol r_i,\quad \boldsymbol V=\dot{\boldsymbol R},\quad \boldsymbol A=\ddot{\boldsymbol R},
com M=m_1+m_2+m_3.
5. Para o sistema, \boldsymbol P=\sum_i\boldsymbol p_i e \boldsymbol F_{\rm tot}=\sum_i\boldsymbol F_i.

Passo 2

Calcular \boldsymbol v_i(t)=\dot{\boldsymbol r}_i(t) e \boldsymbol a_i(t)=\ddot{\boldsymbol r}_i(t):
\boldsymbol r_1=(t^2,\,-t^3+t^2) \;\Longrightarrow\; \boldsymbol v_1=(2t,\,-3t^2+2t),\quad \boldsymbol a_1=(2,\,-6t+2).
\boldsymbol r_2=(2t,\;t^2) \;\Longrightarrow\; \boldsymbol v_2=(2,\;2t),\quad \boldsymbol a_2=(0,\;2).
\boldsymbol r_3=(3t^2,\;2t^2) \;\Longrightarrow\; \boldsymbol v_3=(6t,\;4t),\quad \boldsymbol a_3=(6,\;4).

Passo 3

Calcular a quantidade de movimento de cada bolinha:
\boldsymbol p_i=m_i\,\boldsymbol v_i \;\Longrightarrow\; \boldsymbol p_1=(2t,\,-3t^2+2t),\; \boldsymbol p_2=(4,\;4t),\; \boldsymbol p_3=(18t,\;12t).

Passo 4

Calcular a soma das forças sobre cada bolinha usando \boldsymbol F_i=m_i\boldsymbol a_i:
\boldsymbol F_1=(2,\,-6t+2),\quad \boldsymbol F_2=(0,\;4),\quad \boldsymbol F_3=(18,\;12).

Passo 5

Centro de massa do sistema ( M=6):
\boldsymbol R=\frac{1}{6}\bigl(\boldsymbol r_1+2\boldsymbol r_2+3\boldsymbol r_3\bigr) =\Bigl(\tfrac{5t^2+2t}{3},\,\tfrac{-t^3+9t^2}{6}\Bigr).
Derivando,
\boldsymbol V=\dot{\boldsymbol R} =\Bigl(\tfrac{10t+2}{3},\,\tfrac{-t^2+6t}{2}\Bigr), \quad \boldsymbol A=\ddot{\boldsymbol R} =\Bigl(\tfrac{10}{3},\,3-t\Bigr).

Passo 6

Quantidade de movimento do sistema e soma das forças:
\boldsymbol P=\sum_i\boldsymbol p_i=(20t+4,\,-3t^2+18t), \quad \boldsymbol F_{\rm tot}=\sum_i\boldsymbol F_i=(20,\,-6t+18).

Resposta

a)
\boldsymbol v_1=(2t,\,-3t^2+2t), \boldsymbol a_1=(2,\,-6t+2)
\boldsymbol v_2=(2,\;2t), \boldsymbol a_2=(0,\;2)
\boldsymbol v_3=(6t,\;4t), \boldsymbol a_3=(6,\;4)
b)
\boldsymbol p_1=(2t,\,-3t^2+2t), \boldsymbol p_2=(4,\;4t), \boldsymbol p_3=(18t,\;12t)
c)
\boldsymbol F_1=(2,\,-6t+2), \boldsymbol F_2=(0,\;4), \boldsymbol F_3=(18,\;12)
d)
\displaystyle \boldsymbol R=\Bigl(\tfrac{5t^2+2t}{3},\,\tfrac{-t^3+9t^2}{6}\Bigr),
\displaystyle \boldsymbol V=\Bigl(\tfrac{10t+2}{3},\,\tfrac{-t^2+6t}{2}\Bigr),
\displaystyle \boldsymbol A=\Bigl(\tfrac{10}{3},\,3-t\Bigr)
e)
\boldsymbol P=(20t+4,\,-3t^2+18t),
\boldsymbol F_{\rm tot}=(20,\,-6t+18)

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