A densidade de corrente \mathbf{J} no interior de um fio, cilíndrico infinito de raio \mathrm{a}=4,0 \mathrm{~mm} é paralela ao eixo central é o módulo varia linearmente com a distância radial r de acordo com a equação \mathrm{J}=\mathrm{J}_{0} r / \mathrm{a}, em que \mathrm{J}_{0}=400 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determiņe o módulo do campo magnético (a) para \mathrm{r}=0; (b) para \mathrm{r}=\mathrm{a} / 2; (c) para \mathrm{r}=\mathrm{a} .(2,0)

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico infinito de raio a=4{,}0\\ \mathrm{mm} que transporta uma densidade de corrente axial
J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a},
onde J_{0}=400\\ \mathrm{A/m^{2}}. Precisamos achar o módulo do campo magnético B(r) em três posições: r=0, r=a/2 e r=a. Pela simetria cilíndrica, \mathbf B é tangencial e a Lei de Ampère será nossa ferramenta principal.

Passo 2

Para r\le a calculamos a corrente encerrada por um círculo de raio r:
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}J(r')\,2\pi r'\,dr' =\int_{0}^{r}J_{0}\frac{r'}{a}\,2\pi r'\,dr' =\frac{2\pi J_{0}}{a}\int_{0}^{r}r'^{2}\,dr' =\frac{2\pi J_{0}}{a}\,\frac{r^{3}}{3} =\frac{2\pi J_{0}r^{3}}{3a}.

Passo 3

Pela Lei de Ampère,
\oint \mathbf B\cdot d\mathbf l =B(r)\,(2\pi r) =\mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r),
logo, para r\le a:
B(r)=\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\,\frac{2\pi J_{0}r^{3}}{3a} =\frac{\mu_{0}J_{0}r^{2}}{3a}.
Dessa expressão vemos imediatamente que
B(0)=0 \quad\text{e}\quad B\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr) =\frac{\mu_{0}\,J_{0}}{3a}\,\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^{2} =\frac{\mu_{0}J_{0}a}{12}.

Passo 4

Para r\ge a usamos a corrente total
I_{\text{tot}}=I_{\text{enc}}(a) =\frac{2\pi J_{0}a^{2}}{3}
e a Lei de Ampère dá
B(r)=\frac{\mu_{0}I_{\text{tot}}}{2\pi r} =\frac{\mu_{0}J_{0}a^{2}}{3\,r}.
Em particular, em r=a:
B(a)=\frac{\mu_{0}J_{0}a^{2}}{3\,a} =\frac{\mu_{0}J_{0}a}{3}.

Resposta

(a) B(0)=0\\ \mathrm{T}.
(b)
B\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr) =\frac{\mu_{0}J_{0}a}{12} = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot400\cdot4\times10^{-3}}{12} \approx1{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
(c)
B(a)=\frac{\mu_{0}J_{0}a}{3} = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot400\cdot4\times10^{-3}}{3} \approx6{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

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