Qual é o comprimento de onda do máximo da distribuição espectral térmica de uma estrela de classe K (cor laranja) cuja temperatura superficial é de 4750 K ?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda do máximo da distribuição espectral térmica (o pico da radiação de corpo negro) de uma estrela de classe K cuja temperatura superficial é 4750\\ \mathrm{K}.\n
Informações fornecidas:
T = 4750\\ \mathrm{K}.
A pergunta é: qual é \lambda_{\max}, o comprimento de onda no qual a emissão espectral é máxima?

Passo 2

Conceito necessário (explicado de forma simples): corpos quentes emitem radiação com um espectro que depende só da temperatura. Para um corpo ideal chamado “corpo negro”, a posição do pico da emissão como função do comprimento de onda obedece à Lei de Deslocamento de Wien. Essa lei dá uma relação direta e muito útil entre a temperatura e o comprimento de onda do máximo.\n
Intuição: quanto mais quente o corpo, menor (mais para o azul) é o comprimento de onda onde a emissão é máxima; quanto mais frio, maior (mais para o vermelho).

Passo 3

Apresentação da fórmula que vamos usar (Lei de Wien):
\lambda_{\max} = \frac{b}{T},
onde:
  • \lambda_{\max} é o comprimento de onda do pico (em metros),
  • T é a temperatura absoluta da superfície (em kelvin),
  • b é a constante de Wien, que vale aproximadamente
b = 2{,}8977719\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Explicando as unidades: como b tem unidade \mathrm{m\cdot K}, ao dividir por T em kelvin obtemos metros para \lambda_{\max}.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com T=4750\\ \mathrm{K}. Substituindo:
\lambda_{\max} = \frac{2{,}8977719\times 10^{-3}}{4750}\\ \mathrm{m}.
Agora calculamos essa divisão passo a passo.

Passo 5

Cálculo da divisão (mostrando o raciocínio para poder fazer na prova sem calculadora, aproximando quando necessário):
Primeiro reconhecemos ordens de grandeza:
4750 = 4{,}75\times 10^{3}.
Então
\lambda_{\max} = \frac{2{,}8977719\times 10^{-3}}{4{,}75\times 10^{3}} = \frac{2{,}8977719}{4{,}75}\times 10^{-3-3} = \frac{2{,}8977719}{4{,}75}\times 10^{-6}.
Agora dividimos 2{,}8977719 por 4{,}75. Uma divisão aproximada dá
\frac{2{,}8977719}{4{,}75}\approx 0{,}609636.
Portanto
\lambda_{\max}\approx 0{,}609636\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}=6{,}09636\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter para unidades mais usuais (nanômetros), lembrando que 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}:
\lambda_{\max}\approx 6{,}09636\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} = 6{,}09636\times 10^{-7}\times 10^{9}\\ \mathrm{nm} = 609{,}636\\ \mathrm{nm}.
Arredondando para três algarismos significativos (suficiente para uma prova):
\lambda_{\max}\approx 610\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: \lambda_{\max}\approx 610\\ \mathrm{nm} está dentro da faixa visível (aprox. 380 750\\ \mathrm{nm}) e corresponde a um tom laranja-avermelhado, coerente com o fato de estrelas de classe K terem cor laranja. Como exemplo comparativo, o Sol ( T\approx 5778\\ \mathrm{K}) tem \lambda_{\max} perto de 500\\ \mathrm{nm} (verde-amarelo), então 4750\\ \mathrm{K} sendo mais frio desloca o pico para comprimentos maiores (mais vermelho), o que faz sentido físico.

Resposta

\lambda_{\max}\approx 6{,}10\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}=610\\ \mathrm{nm}

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