Considere três eventos A, B e C no mesmo espaço de probabilidade com
P(A)=2 / 5, P(B)=1 / 4 e P(C)=1 / 2
Suponha ainda que:
P(A cap B)=x, P(B cup C)=y e P(C-A)=z
Encontre intervalos para os valores de x, y e z (determinando condições para esses valores).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três eventos A, B e C num mesmo espaço de probabilidade com
P(A)=tfrac25, P(B)=tfrac14, P(C)=tfrac12
Aí definem
x=P(Acap B), y=P(Bcup C), z=P(C - A)
e pedem para achar intervalos possíveis (ou seja, limites mínimo e máximo) para x, y e z.
O conteúdo é probabilidade básica: usar fórmulas de interseção, união e as desigualdades gerais (por exemplo, P(Acap B)>= P(A)+P(B)-1). Vamos precisar dessas fórmulas para achar os limites.

Passo 2

Queremos o intervalo de
x=P(Acap B)
Teoria aplicada: para dois eventos qualquer vale
1) P(Acap B)>= P(A)+P(B)-1,
2) P(Acap B)<= minP(A),P(B).
Aqui
P(A)+P(B)-1=tfrac25+tfrac14-1=tfrac820+tfrac520-1=tfrac1320-1=-tfrac720,
mas probabilidade não pode ser negativa, então o mínimo é 0.
O máximo é
minP(A),P(B)=mintfrac25,tfrac14=tfrac14
Logo
xinl[0,tfrac14r]

Passo 3

Agora o intervalo de
y=P(Bcup C)
Teoria: P(Bcup C)=P(B)+P(C)-P(Bcap C). E sabemos que
0<= P(Bcap C)<=minP(B),P(C)=mintfrac14,tfrac12=tfrac14
  • Para achar ymin, colocamos o P(Bcap C) máximo: ymin=tfrac14+tfrac12-tfrac14=tfrac12
    - Para achar ymax, colocamos o P(Bcap C) mínimo (que é zero):
    ymax=tfrac14+tfrac12-0=tfrac34
Então
yinl[tfrac12,tfrac34r]

Passo 4

Por fim,
z=P(C - A)=P(Ccap A^c)
Usamos que P(Ccap A^c)=P(C)-P(Ccap A). Definimos w=P(Ccap A) e aplicamos de novo:
max0,P(A)+P(C)-1<= w<=minP(A),P(C)
  • P(A)+P(C)-1=tfrac25+tfrac12-1=-tfrac110, que vira 0;
  • mintfrac25,tfrac12=tfrac25.
    Logo win[0,tfrac25].
    Então
z=tfrac12-w
vai de
- zmax quando wmin=0: zmax=tfrac12,
- zmin quando wmax=tfrac25: zmin=tfrac12-tfrac25=tfrac110.
Portanto
zinl[tfrac110,tfrac12r]

Resposta

x∈[0, 1/4], y∈[1/2, 3/4], z∈[1/10, 1/2].

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