Se os eventos dados em cada caso não são mutuamente exclusivos, avalie se as seguintes expressões são possiveis. Se a expressão for possivel, dê um exemplo; se não for possivel, explique o motivo:
ii) P(C / D)=P(C).

Passo 1

Beleza, a questão tá pedindo pra gente ver se dá pra ter
P(Cmid D)=P(C)
quando os eventos C e D não são mutuamente exclusivos.
Conteúdo: probabilidade condicional e independência de eventos.
O que precisamos:
- Definição de probabilidade condicional
- Conceito de eventos independentes x mutuamente exclusivos

Passo 2

Primeiro, lembra da probabilidade condicional:
P(Cmid D)=P(Ccap D)P(D), P(D)>0
Isso significa: “a chance de C acontecer sabendo que D rolou” é a probabilidade da interseção dividida pela probabilidade de D.

Passo 3

A igualdade que queremos é
P(Cmid D)=P(C)
Substituindo a fórmula:
$$\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=P©
\quad\Longrightarrow\quad
P(C\cap D)=P©,P(D).$$
Pronto: isso é a definição de eventos independentes. Se dois eventos satisfazem P(Ccap D)P(D)=P(C) Longrightarrow P(Ccap D)=P(C),P(D), então eles são independentes.

Passo 4

Só lembrar:
  • Mutuamente exclusivos significa .
  • Independentes significa .
    Eles são conceitos diferentes. Aqui o enunciado diz que C e D não são mutuamente exclusivos, ou seja, . E estamos vendo que, se eles ainda forem independentes, satisfazem .

Passo 5

Exemplo prático (moeda justa, dois lançamentos):
  • Experimento: lançar uma moeda duas vezes.
  • Evento C: “primeiro lançamento dá cara” ⇒ P(Ccap D)=tfrac12cdottfrac12=tfrac14>0.
  • Evento D: “segundo lançamento dá cara” ⇒ P(Cmid D)=P(Ccap D)P(D) =tfrac14tfrac12=tfrac12 = P(C).
    Como os lançamentos são independentes,

ou seja, não são mutuamente exclusivos.
E
$$P(C\mid D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}
=\frac{\tfrac14}{\tfrac12}=\tfrac12
= P©.$$

Resposta

Sim, é possível ter sem serem mutuamente exclusivos — basta C e D serem independentes. Por exemplo, no experimento de lançar uma moeda duas vezes, pegar “cara no primeiro” e “cara no segundo” satisfaz exatamente isso.

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