Se os eventos dados em cada caso não são mutuamente exclusivos, avalie se as seguintes expressões são possiveis. Se a expressão for possivel, dê um exemplo; se não for possivel, explique o motivo:
ii)
.
ii)
Passo 1
Beleza, a questão tá pedindo pra gente ver se dá pra ter
quando os eventos C e D não são mutuamente exclusivos.
Conteúdo: probabilidade condicional e independência de eventos.
O que precisamos:
- Definição de probabilidade condicional
- Conceito de eventos independentes x mutuamente exclusivos
Passo 2
Primeiro, lembra da probabilidade condicional:
Isso significa: “a chance de C acontecer sabendo que D rolou” é a probabilidade da interseção dividida pela probabilidade de D.
Passo 3
A igualdade que queremos é
Substituindo a fórmula:
$$\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=P©
\quad\Longrightarrow\quad
P(C\cap D)=P©,P(D).$$
Pronto: isso é a definição de eventos independentes. Se dois eventos satisfazem , então eles são independentes.
Pronto: isso é a definição de eventos independentes. Se dois eventos satisfazem
Passo 4
Só lembrar:
- Mutuamente exclusivos significa
. - Independentes significa
.
Eles são conceitos diferentes. Aqui o enunciado diz que C e D não são mutuamente exclusivos, ou seja,. E estamos vendo que, se eles ainda forem independentes, satisfazem .
Passo 5
Exemplo prático (moeda justa, dois lançamentos):
- Experimento: lançar uma moeda duas vezes.
- Evento C: “primeiro lançamento dá cara” ⇒
. - Evento D: “segundo lançamento dá cara” ⇒
.
Como os lançamentos são independentes,
ou seja, não são mutuamente exclusivos.
E
$$P(C\mid D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}
=\frac{\tfrac14}{\tfrac12}=\tfrac12
= P©.$$
Resposta
Sim, é possível ter
sem serem mutuamente exclusivos — basta C e D serem independentes. Por exemplo, no experimento de lançar uma moeda duas vezes, pegar “cara no primeiro” e “cara no segundo” satisfaz exatamente isso.