Considere três eventos A, B e C no mesmo espaço de probabilidade com
P(A)=2 / 5, P(B)=1 / 4 e P(C)=1 / 2
Suponha ainda que:
P(A cap B)=x, P(B cup C)=y e P(C-A)=z
Determine, em função de x, y e z o valor de P(B-A), P(C-B) e P(A cup C).

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos três eventos A, B e C com
P(A)=tfrac25, P(B)=tfrac14, P(C)=tfrac12
e ainda nos dão:
P(Acap B)=x, P(Bcup C)=y, P(C - A)=z
O que a gente precisa achar é, em função de x, y e z:
  1. P(Bcup C)=P(B)+P(C)-P(Bcap C),
  2. P(C-A)=P(Ccap A^c)=P(C)-P(Ccap A)
Os conteúdos que vamos usar são:
  • Probabilidade de diferença de conjuntos ( , etc.).
  • Fórmulas de união e interseção:

Passo 2

Vamos começar por B-A = Bcap A^c .
Por definição,
P(B)=P(Bcap A)+P(Bcap A^c)
E a soma das partes de B é
P(Bcap A^c)=P(B)-P(Bcap A)
Então
P(B-A)=P(B)-x = tfrac14-x
Substituindo os valores conhecidos,

Passo 3

Agora C-B = Ccap B^c, .
De novo, por definição,
P(Ccap B^c)=P(C)-P(Ccap B)
e
y = P(Bcup C) = P(B)+P(C)-P(Bcap C)
Mas não temos direto P(Bcap C) = P(B)+P(C)-y = tfrac14+tfrac12-y = tfrac34-y . A gente sabe P(C-B)=P(C)-P(Bcap C) = tfrac12 - l(tfrac34-yr) = tfrac12-tfrac34+y = y - tfrac14 , e pela fórmula de união:
Desse jeito
Logo

Passo 4

Falta P(Acup C)=P(A)+P(C)-P(Acap C) .
A fórmula geral é
P(C-A)=z, C-A=Ccap A^cimplies z = P(Ccap A^c)=P(C)-P(Ccap A)
Não temos P(Ccap A)=P(C)-z=tfrac12-z direto, mas sabemos
P(Acup C) = P(A)+P(C)-P(Acap C) = tfrac25+tfrac12-l(tfrac12-zr) = tfrac25+z
Então
Substituindo em :

Resposta

boxed P(B-A)&=tfrac14-x, P(C-B)&=y-tfrac14, P(Acup C)&=tfrac25+z

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