Considere três eventos A, B e C no mesmo espaço de probabilidade com
P(A)=2 / 5, P(B)=1 / 4 e P(C)=1 / 2
Suponha ainda que:
P(A cap B)=x, P(B cup C)=y e P(C-A)=z
Assuma agora que os eventos A, B e C são (coletivamente) independentes.
ii) Calcule P(A cup B cup C).

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos três eventos P(A)=tfrac25, P(B)=tfrac14, P(C)=tfrac12, , P(Acup Bcup C) e num mesmo espaço de probabilidade com
e eles são (coletivamente) independentes. A parte (ii) quer que a gente calcule
Conteúdo que vamos usar:
  • Regra da inclusão–exclusão para união de três eventos.
  • Definição de independência (produtos de probabilidades).

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula da inclusão–exclusão para três eventos:
P(Acup Bcup C) =P(A)+P(B)+P(C) - P(Acap B)-P(Acap C)-P(Bcap C) +P(Acap Bcap C)

Passo 3

Agora, como P(Acap B)=P(A),P(B), P(Acap C)=P(A),P(C), P(Bcap C)=P(B),P(C), P(Acap Bcap C)=P(A),P(B),P(C) , e são independentes, vale:

Passo 4

Vamos calcular cada produto:
P(A)P(B)=tfrac25cdottfrac14=tfrac220=tfrac110,
P(A)P(C)=tfrac25cdottfrac12=tfrac210=tfrac15,
P(B)P(C)=tfrac14cdottfrac12=tfrac18,
P(A)P(B)P(C)=tfrac25cdottfrac14cdottfrac12=tfrac240=tfrac120

Passo 5

Substituindo na fórmula:
P(Acup Bcup C) =tfrac25+tfrac14+tfrac12 -tfrac110-tfrac15-tfrac18 +tfrac120
Vamos por partes, usando denominador 40:
tfrac25=tfrac1640, tfrac14=tfrac1040, tfrac12=tfrac2040,
tfrac110=tfrac440, tfrac15=tfrac840, tfrac18=tfrac540, tfrac120=tfrac240
Então
P(Acup Bcup C) =l(16+10+20r)/40 -l(4+8+5r)/40 +2/40 =tfrac4640-tfrac1740+tfrac240 =tfrac3140

Resposta

P(Acup Bcup C)=boxedtfrac3140

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