Considere três eventos A, B e C no mesmo espaço de probabilidade com
P(A)=2 / 5, P(B)=1 / 4 e P(C)=1 / 2
Suponha ainda que:
P(A cap B)=x, P(B cup C)=y e P(C-A)=z
Assuma agora que os eventos A, B e C são (coletivamente) independentes.
i) Calcule os valores de x, y e z.
ii) Calcule P(A cup B cup C).
iii) Os eventos (A cup B) e C são também independentes? Mostre.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos três eventos P(A)=tfrac25, P(B)=tfrac14, P(C)=tfrac12 com
x=P(Acap B), y=P(Bcup C), z=P(C-A)
e que eles são independentemente coletivos. Precisamos achar
P(Acup Bcup C)=sum P-sum P(cap2)+P(cap3)
depois calcular e ver se e são independentes.
Para isso vamos usar:
  • Definição de independência: .
  • Fórmula de união de dois eventos: .
  • Complemento: .
  • Fórmula de união de três:

Passo 2

Calcular x=P(A)P(B)=tfrac25timestfrac14=tfrac220=tfrac110 pela independência:

Passo 3

Calcular P(Bcap C)=P(B)P(C)=tfrac14timestfrac12=tfrac18 . Como são independentes,
y=tfrac14+tfrac12-tfrac18 =tfrac28+tfrac48-tfrac18 =tfrac58
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Passo 4

Calcular P(Ccap A)=P(C)P(A)=tfrac12timestfrac25=tfrac15 . Pela independência,
z=tfrac12-tfrac15 =tfrac510-tfrac210 =tfrac310
Então

Passo 5

Calcular P(Acup Bcup C) =P(A)+P(B)+P(C) -l[P(Acap B)+P(Acap C)+P(Bcap C)r] +P(Acap Bcap C) pela fórmula de três eventos:
P(Acap B)=tfrac110,; P(Acap C)=P(A)P(C)=tfrac15,; P(Bcap C)=tfrac18,
Já temos
P(Acap Bcap C)=P(A)P(B)P(C)=tfrac25timestfrac14timestfrac12=tfrac120
P(Acup Bcup C)=tfrac3140
Somando tudo direitinho dá

Passo 6

Checar se Pl((Acup B)cap Cr)=P(Acup B),P(C) e Pl((Acup B)cap Cr) =P(Acap C)+P(Bcap C)-P(Acap Bcap C) =tfrac15+tfrac18-tfrac120 =tfrac1140 são independentes, ou seja, se
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B) =tfrac25+tfrac14-tfrac110 =tfrac1120,
À esquerda:
P(Acup B),P(C)=tfrac1120timestfrac12=tfrac1140
À direita:
então
Como dá o mesmo, são independentes.

Resposta

i)
ii)
iii) Sim, e são independentes.

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