Uma variável aleatória X tem Função Geradora de Momentos dada por:
MX(t)=e^(alpha t+beta^2 t^22) para t in R, alpha in R e beta>0
Prove que Y=(X-alpha) / beta é uma variável aleatória de média zero e variância um utilizando:
i) A FGM
ii) As propriedades de esperança e variância.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma v.a. MX(t)=exp!l(alpha t + tfracbeta^2 t^22r), cuja Função Geradora de Momentos (FGM) é
Y=X-alphabeta
com e . Precisamos mostrar que a variável
tem média zero e variância igual a 1. O conteúdo aqui é de MGFs (Moment Generating Functions) e também as propriedades básicas de esperança e variância de transformações lineares. Vamos precisar:
  1. Saber que a MGF de é e que derivando-a em zero a gente pega média e variância;
  2. Saber que para uma v.a. , e .

Passo 2

(Usando a FGM)
  1. Definimos a FGM de MY(t)=El[e^tYr] =El[exp!l(tcdottfracX-alphabetar)r] =El[exp!l(tfrac tbeta Xr)exp!l(-tfractalphabetar)r] :
MY(t) =exp!l(-tfractalphabetar) ;El[e^(t/beta)Xr] =exp!l(-tfractalphabetar);MX!l(tfrac tbetar)
  1. Como MY(t) =exp!l(-tfractalphabetar) ;exp!l(alphacdottfrac tbeta + tfracbeta^22,tfract^2beta^2r) =exp!l(tfracbeta^22,tfract^2beta^2r) =exp!l(tfract^22r) é constante em relação a MY(t)=e^t^2/2 , sai fora da esperança:
E[Y]=M'Y(0), Var(Y)=M''Y(0)-l(M'Y(0)r)^2
  1. Substituindo M'Y(t)=t,e^t^2/2, M''Y(t)=(1+t^2),e^t^2/2 com M'Y(0)=0cdot e^0 = 0, M''Y(0)=(1+0),e^0=1 :
Portanto
  1. Para extrair média e variância da MGF, lembramos que
  1. Derivando :
Logo em :
Isso dá e .

Passo 3

(Usando propriedades de esperança e variância)
Aqui a gente usa que, para constantes E[aX+b]=a,E[X]+b, Var(aX+b)=a^2,Var(X) ,
E[Y] =1beta,E[X] + l(-alphabetar) =alphabeta-alphabeta=0
No nosso caso Var(Y) =l(1betar)^2,Var(X) =1beta^2,beta^2 =1 é igual a com e .
  1. Como da FGM sabemos (ou pelo fato de ) que , temos
  1. E como , fica

Resposta

Mostramos de duas formas que a variável tem esperança e variância .

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