Uma variável aleatória
tem Função Geradora de Momentos dada por:
Prove que
é uma variável aleatória de média zero e variância um utilizando:
i) A FGM
ii) As propriedades de esperança e variância.
Prove que
i) A FGM
ii) As propriedades de esperança e variância.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma v.a.
cuja Função Geradora de Momentos (FGM) é
com
e
. Precisamos mostrar que a variável
tem média zero e variância igual a 1. O conteúdo aqui é de MGFs (Moment Generating Functions) e também as propriedades básicas de esperança e variância de transformações lineares. Vamos precisar:
- Saber que a MGF de
é e que derivando-a em zero a gente pega média e variância; - Saber que para uma v.a.
, e .
Passo 2
(Usando a FGM)
- Definimos a FGM de
:
- Como
é constante em relação a , sai fora da esperança:
- Substituindo
com :
Portanto
- Para extrair média e variância da MGF, lembramos que
- Derivando
:
Logo em
:
Isso dá
e
.
Passo 3
(Usando propriedades de esperança e variância)
Aqui a gente usa que, para constantes ,
Aqui a gente usa que, para constantes
No nosso caso
é igual a
com
e
.
- Como da FGM sabemos (ou pelo fato de
) que , temos
- E como
, fica
Resposta
Mostramos de duas formas que a variável
tem esperança
e variância
.