Considere três pontos A, B, C e D colineares com coordenadas x<y<z<w. Prove que \overline{A C}=\overline{C D}.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro pontos colineares A,B,C,D cujas coordenadas satisfazem
x < y < z < w,
onde A está em x, B em y, C em z e D em w. Pede-se demonstrar que \overline{AC} = \overline{CD}.

Passo 2

Pela definição de distância em reta,
\overline{AC} = |z - x| \quad\text{e}\quad \overline{CD} = |w - z|.
Como x<z<w, podemos retirar o valor absoluto sem mudar o sinal:
\overline{AC} = z - x, \quad \overline{CD} = w - z.

Passo 3

Para que \overline{AC} = \overline{CD} seja verdade é preciso ter
z - x = w - z \quad\Longleftrightarrow\quad 2z = x + w.
Mas o enunciado não fornece nenhuma condição como “ C é o ponto médio de AD” nem impõe 2z=x+w. Portanto não há informação suficiente para concluir que z - x = w - z.

Resposta

Não é possível provar \overline{AC} = \overline{CD} sem a hipótese adicional de que C seja o ponto médio de AD (isto é, sem saber que 2z=x+w).

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