Dados V=\mathbb{R}^{3}, u=(1,0,0) e v=(1,1,0), determine o conjunto [u, v] de todas as combinações lineares entre u e v.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado pelos vetores \,u=(1,0,0) e \,v=(1,1,0) em \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é o conceito de combinação linear e espaço gerado (span). Vamos usar a definição
[u,v]=\{\,a\,u + b\,v \mid a,b\in\mathbb{R}\}

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica de \,u e \,v:
a\,u + b\,v = a\,(1,0,0) + b\,(1,1,0).

Passo 3

Calculando componente a componente, temos
a\,(1,0,0) + b\,(1,1,0) =(a+b,\;b,\;0).

Passo 4

Para ver qual é o conjunto desses vetores, basta notar que, dados x e y quaisquer em \mathbb{R}, podemos escolher
b = y \quad\text{e}\quad a = x - y,
de modo que
(a+b,\;b,\;0) = (x,\;y,\;0).
Logo o span de u e v é exatamente o plano z=0 em \mathbb{R}^3.

Resposta

[u,v]=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.

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